Wieviele Dreiecke kann ein durch n Ebenen begrenzter Körper maximal haben?

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Corgi Auf diesen Beitrag antworten »
Wieviele Dreiecke kann ein durch n Ebenen begrenzter Körper maximal haben?
Meine Frage:
Gegeben ist ein Körper der durch n Ebenen begrenzt ist. Die Flächen des Körpers werden in Dreiecke aufgeteilt so das es keine Überschneidungen gibt.
Wenn eine gewisse Anzahl von Dreiecken nicht überschritten werden darf, wieviele Ebenen dürfen dann zur Definition des Körpers maximal verwendet werden um bei jeder denkbaren Konfiguration das Limit einzuhalten?



Meine Ideen:
Die Frage ist ja wieviele Dreiecke hat ein Körper der durch n Ebenen begrenzt ist maximal.

Ein Körper der duch Ebenen begrenzt ist ist konvex und alle seine Flächen sind konvex, soweit ist mir das schonmal klar. Dann passen in jede konvexe Fläche mit x Seiten x-2 Dreiecke die sich nicht überschneiden, auch nicht schwer. Aber welche Form muss der Körper haben damit er möglichst viele Flächen mit möglichst vielen Seiten hat?

Eine Pyramidenförmiger Körper kommt bei n Ebenen auf eine Grundfläche mit n-1 Seiten also n-3 Dreiecken und n-1 weitere Flächen mit je einem Dreieck.
Pyramide also

Dreiecke.
Nimmt man davon eine Fläche weg und schneidet damit die Spitze ab, so erhält man einen Körper mit 2 Flächen mit je n-2 Seiten (n-4 Dreiecke) und n-2 Flächen mit 2 Dreiecken. Das sind dann insgesammt

Dreiecke. Schonmal mehr als die Pyramide.

Der Körper ist nun ein Pyramidenstumpf. Streng genommen könnte er auch was anderes sein, wenn die Deckfäche nicht parallel zur Grundfläche ist, aber dadurch gehen meiner Meinung nach maximal Dreicke verloren, was bei der Suche nach einmen Maximum ja egal sein sollte.

Bis hierher gut. Wenn man jetzt wieder eine Ebene wegnimmt, verlieren die beiden "Grundseiten" je ein Dreieck und eine "Mantelfläche mit 2 Dreiecken verschwindet -> 4 Dreiecke Verlust. Benutzt man die Ebene um wieder eine Ecke des Körpers abzuschneiden dann bekommen 3 Flächen ein Dreieck dazu und es entsteht eine neue Fläche mit einem Dreieck. Die Anzahl der Dreiecke bleibt also gleich.
Angenommen man hat ein genügend großes n (damit man genug Ebenen wegnehmen kann) und macht das für jede Ecke, was dann? Geht das immer so weiter? Ab da setzt mein räumliches Vorstellungsvermögen leider aus.

Ist der Pyramiedenstumpf die gesuchte Form? Es gelingt mir nicht das irgentwie Wasserdicht zu beweisen und daher bin ich nicht überzeugt.

Jede Hilfe wär echt nett, ist schon ne Weile her das ich Mathe Vorlesungen hatte...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann dir zunächst nur soviel sagen:

Sind die Anzahlen der Eckpunkte, Flächen sowie Kanten deines Polyeders, dann ist die von dir gesuchte Anzahl Dreiecke darstellbar als

,

letzteres folgt aus dem Eulerschen Polyedersatz. Deine Problemstellung ist also äquivalent dazu, die Anzahl der Eckpunkte zu maximieren. Ob das aber bei der Lösung helfen kann, vermag ich nicht zu sagen - wollte dir diesen Zusammenhang aber wenigstens mitteilen.
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