Integralrechnung, aufleitung, Stammfunktion

17.07.2012, 21:22

_Leona_

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Integralrechnung, aufleitung, Stammfunktion

Hey ihr Lieben!

ich habe da echt ein großes Problem. Komme bei folgender Aufgabe einfach nicht dahinter, wo mein Denkfehler ist.

Für 8< x < 60 sei F(x) := F(8) + Integral von 8 zu x (11 - (2t)hoch 1/2 dt ,wobei F(8) fix vorgegeben ist

a)berechnen sie den Wert von F(50)

der Schritt soll folgendermaßen lauten :
A = Integral von 8 zu 50 (11- (2t)hoch 1/2)dt = [11*t - 2/3 * 1/2 (2t)hoch 3/2]8 zu 50

So nun meine Frage: Woher kommt denn das 1/2 vor dem 2/3 eigentlich her?

Ich hätte die Aufgabe genauso gelöst, aber ohne die 1/2, was habe ich nur vergessen?

Ganz vielen Lieben Dank!

17.07.2012, 21:37

Master1991

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Hi,

ich denke du meinst:

$\begin{eqnarray*} 8 < x < 60 \qquad F(x):= F(8) + \int_8^x \! 11-2\sqrt{t} \ dt \end{eqnarray*}$

Wenn du nun F(50) berechnen willst, musst du nur dieses Integral lösen:

$\begin{eqnarray*} F(50) = F(8) + 11*\int_8^{50} \! 1 \ dt -2\int_8^{50} \! \sqrt{t} \ dt \end{eqnarray*}$

ich denke das hast du auch so gemacht, wenn ja ist alles richtig gelaufen. Ich erkenne da auch nicht wo 1/2 herkommt wenn nicht aus der Konstanten F(8)

17.07.2012, 21:48

_Leona_

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Genau dort liegt mein Problem die Aufgabe wie die sie angegeben hast ist so auf jedenfall richtig rübergekommen.Wie löse ich denn dieses Integral ab da könntest du mir vielleicht den Rechenweg aufzeigen vielleicht hab ich irgendetwas bei der Integralrechnung nicht oder nur falsch verstanden... Danke schonmal für deine Antwort.

17.07.2012, 21:55

Master1991

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Laut Boardprinzip werden dir keine komplettlösungen gelierfert, nur Hilfestellungen, du sollst dabei ja schließlich auch was lernen, also:

$\begin{eqnarray*} F(50) = F(8) + 11*\int_8^{50} \! 1 \ dt -2\int_8^{50} \! \sqrt{t} \ dt \end{eqnarray*}$

Schau dir die Integrale zunächst einzelnd an und bau sie am Ende wieder zusammen:

$\begin{eqnarray*} \int_8^{50} \! 11 \ dt = 11* \int_8^{50} \! 1 \ dt \end{eqnarray*}$

Integration ist wie du weißt die Umkehrung der Differentialrechnung, du suchst nun also eine Funktion, die Abgeleitet 1 ergibt.

Nunja, das bekommst du sicherlich hin, selbiges gilt für das zweite Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_8^{50} \! \sqrt{t} \ dt \end{eqnarray*}$

Welche Funktion musst du Ableiten um Wurzel t zu erhalten? Schreibe es dir eventuell in Potenzschreibweise hin, dann ist es ersichtlicher Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.07.2012, 21:58

_Leona_

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Ja t^1/2 wäre ja aufgeleitet 2/3*t^3/2 oder täusche ich mich da?Die Lösung mit den 1/2*2/3 ist meines Wissens vom Lehrstuhl abgesegnet und richtig also woher kommt das 1/2?

17.07.2012, 22:06

original

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RE: Integralrechnung, aufleitung, Stammfunktion

Zitat:

Original von _Leona_
einfach nicht dahinter..

.. + Integral von 8 zu x (11 - (2t)hoch 1/2 dt

was habe ich nur vergessen?

verwirrt

da gehen zwei Klammern auf und nur eine zu

also hast du zB eine Klammer vergessen smile

smile

also: wie heisst der Integrand nun wirklich?
versuchs mal mit dem Formeleditor ->....

nebenbei:
Master1991 sieht den Faktor 2 beim t nicht unter dem Wurzelzeichen - du aber schreibst (2t)^1/2 verwirrt

verwirrt

.

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17.07.2012, 22:10

Master1991

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Nein das ist richtig was du geschrieben hast, Integriert man alles erhält man:

$\begin{eqnarray*} F(50)=F(8)+[11t]_8^{50}-2[\frac 23 \sqrt{t^3}]_8^{50} \end{eqnarray*}$

Die Lösung deines Lehrstuhls ist:

$\begin{eqnarray*} 11t-\frac 23 \cdot \frac 12 \sqrt{(2t)^3} \end{eqnarray*}$

Eventuell erkennst du jetzt worauf das ganze hinausläuft?

//Edit: Schau dir nur den hinteren Teil an, eventuell kann man den ja zusammenfassen?
//Edit2: @original: Hmm Big Laugh

Big Laugh

Das fällt mir gerade erst auf ... gut das du nochmal vorbeigeschaut hast.

17.07.2012, 22:24

_Leona_

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$\begin{eqnarray*} <br /> \sqrt[]({t} ^3) =t^{3/2}<br /> \end{eqnarray*}$
Ist dem nicht so?

17.07.2012, 22:28

original

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verwirrt

du solltest doch erstmal dein Integral (bzw. den Integranden) richtig (mit dem Formeleditor) notieren Gott

Gott

.

17.07.2012, 22:35

Master1991

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Die Frage ist, was ist nun gesucht:

$\begin{eqnarray*} 8 < x < 60 \qquad F(x):= F(8) + \int_8^x \! 11-2\sqrt{t} \ dt \end{eqnarray*}$

oder das

$\begin{eqnarray*} 8 < x < 60 \qquad F(x):= F(8) + \int_8^x \! 11-\sqrt{2t} \ dt \end{eqnarray*}$

Edit// Ich gehe mal von Fall Nummer 2 aus, hab mich da einfach verguckt, ist ohne Formeleditor leider echt schwer zu sehen, aber Fall 2 macht Sinn Augenzwinkern

Augenzwinkern

:

Wie ist denn die Stammfunktion zu folgendem Integral:

$\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt{2t} \ dt \end{eqnarray*}$

17.07.2012, 22:40

_Leona_

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$\begin{eqnarray*} <br /> \int_8^50 (11-(2t)^{1/2})dt<br /> \end{eqnarray*}$

Ich krieg die 50 oben leider nichtmehr rein hab wirklich keine ahnung wie ich das mit dem Formeleditor besser darstellen soll kenn mich da leider nicht so aus tut mir leid verwirrt

verwirrt

17.07.2012, 22:43

_Leona_

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Zitat:

Original von Master1991

Wie ist denn die Stammfunktion zu folgendem Integral:

$\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt{2t} \ dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2} } ?<br /> \end{eqnarray*}$

17.07.2012, 22:50

_Leona_

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Wenn das richtig ist woher dann die 1/2?

17.07.2012, 22:56

original

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Zitat:

Original von _Leona_

Wie ist denn die Stammfunktion zu folgendem Integral:

$\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt{2t} \ dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2} } ? \end{eqnarray*}$ unglücklich

unglücklich

unglücklich

........... NEIN .............. Wink

Wink

.

17.07.2012, 22:58

_Leona_

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Die Aufleitung habe ich folgender Maßen gemacht
$\begin{eqnarray*} 2*(2/3)*t^{3/2} \end{eqnarray*}$

17.07.2012, 23:02

Master1991

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Zitat:

Original von _Leona_
Die Aufleitung habe ich folgender Maßen gemacht
$\begin{eqnarray*} 2*(2/3)*t^{3/2} \end{eqnarray*}$

Das hab ich mir gedacht, so einfach ist es (leider) nicht:

Es ist

$\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt{2t} \ dt \end{eqnarray*}$

Dann solltest du $\begin{eqnarray*} 2t = u \end{eqnarray*}$ substituieren, wenn du das richtig machst siehst du sofort wo die 1/2 herkommt Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.07.2012, 23:05

original

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Zitat:

Original von _Leona_
Die Aufleitung habe ich folgender Maßen gemacht
$\begin{eqnarray*} 2*(2/3)*t^{3/2} \end{eqnarray*}$

Big Laugh

1. heisst das nicht Auf Leitung

2. ist deine Rechnung nicht richtig

du willst doch $\begin{eqnarray*} f(x)= \sqrt{2x} = \sqrt{2}\cdot \sqrt{x} = \sqrt{2}\cdot x^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$
integrieren?

oder?

17.07.2012, 23:05

_Leona_

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Und was wäre dann v?

17.07.2012, 23:09

Master1991

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Was für ein v verwirrt

verwirrt

Substitution heißt doch das du einen Ausdruck durch einen einfacheren Ersetzt:

In deinem Fall indem du

$\begin{eqnarray*} 2t=u \end{eqnarray*}$ substituierst...dabei musst du allerdings beachten das sich deine Integrationskonstnte (dt) auch ändert beim Substituieren (nämlich wie) ?

Du kannst es aber auch so machen wie original es dir gerade (versucht) vorzuschlagen...
beide Wege führen zum Ziel Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.07.2012, 23:10

_Leona_

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zu du?

17.07.2012, 23:13

Master1991

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Ja zu du, aber nicht ohne weiteres:

$\begin{eqnarray*} 2t = u \end{eqnarray*}$

ableiten ergibt:

$\begin{eqnarray*} 2 dt = du \Rightarrow dt = \frac{du}{2} \end{eqnarray*}$

Macht das ganze nun sinn? Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.07.2012, 23:14

_Leona_

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$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{u}^{3} \end{eqnarray*}$ hätte ich doch dann oder?

17.07.2012, 23:16

_Leona_

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Ah ok nun macht es sinn da wäre ich nur alleine nie drauf gekommen danke für die Hilfe und sorry für meine "verwirrenden" Antworten.

17.07.2012, 23:17

Master1991

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unglücklich

Du musst doch einfach nur einsetzen; wo kommt plötzlich die ^3 her?

Eingesetzt hast du doch:

$\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt{u} \ \frac{du}{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt klarer?

17.07.2012, 23:20

_Leona_

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Zitat:

Original von Master1991
unglücklich

unglücklich

Du musst doch einfach nur einsetzen; wo kommt plötzlich die ^3 her?

Eingesetzt hast du doch:

$\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt{u} \ \frac{du}{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt klarer?

davon müsste ich aber doch noch die Stammfunktion bilden oder?

17.07.2012, 23:21

_Leona_

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Scheinbar habe ich das grundsätzlich nicht Verstanden... unglücklich

unglücklich

17.07.2012, 23:26

Master1991

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Ja natürlich, aber schau mal:

Du darfst konstanten aus einem Integral rausziehen, weil Integrale linear sind.

Jetzt mal Schritt für Schritt, das führt ja so zu nichts:

Also gesucht ist die Stammfunktion von
$\begin{eqnarray*} f(t) = \sqrt{2t} \end{eqnarray*}$

Wir substituieren
$\begin{eqnarray*} u=2t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{du}{2} = dt \end{eqnarray*}$

Eingesetzt ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt{u} \ \frac{du}{2} = \int \! \sqrt{u} \ \frac{1}{2} du \end{eqnarray*}$

Wie gesagt das Integral ist linear, also:

$\begin{eqnarray*} \frac 12 \int \! \sqrt{u} \ du \end{eqnarray*}$

Davon bildest du nun die Stammfunktion,, die wie du bereits erwähnt hast so lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac 12 [\frac 23 \sqrt{u^3}] \end{eqnarray*}$

Nun musst du nur noch resubstituieren, das schaffst du denke ich mal selber?

17.07.2012, 23:30

original

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Zitat:

Original von _Leona_
Scheinbar habe ich das grundsätzlich nicht Verstanden... unglücklich

unglücklich

sieht ganz so aus...

also nochmal: versuch es doch so:

du willst doch $\begin{eqnarray*} f(x)= \sqrt{2x} = \sqrt{2}\cdot \sqrt{x} = \sqrt{2}\cdot x^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$
integrieren?

also
Konstante mal x^(1/2) ... integrieren -> ?
.

17.07.2012, 23:30

_Leona_

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Ja das krieg ich hin danke für das näher bringen eine Frage hätte ich noch.Muss man bei Aufgaben diesen Typs immer substituieren oder bietet sich das nur in diesem speziellen Fall an?

17.07.2012, 23:35

Master1991

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Nein leider ist das bei Integralen nicht so einfach, es gibt kein "allgemeines Kochrezept" zur Lösung.

In diesem Fall habe ich dir Substitution vorgeschlagen, weil man direkt beim rechnen sieht, woher die 1/2 kamen.

Genauso gut kannst du aber auch den Vorschlag von original nehmen, vll machst du das zum üben einfach mal Augenzwinkern

Augenzwinkern

Letztendlich ist der Weg sogar einfacher weil du nichts substituieren musst.

17.07.2012, 23:38

_Leona_

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Ich werd noch ein wenig rumprobieren bis ich es raushabe eure Hilfestellungen sind ja schonmal mehr als großzügig ganz ganz vielen lieben danke!!!!.Ich wünsche euch noch einen schönen Abend Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.07.2012, 23:43

Master1991

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Bei weiteren Fragen meld dich einfach wieder Augenzwinkern

Augenzwinkern

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