Hyperbel als Höhenschnittpunkt

17.07.2012, 21:28	NiFy	Auf diesen Beitrag antworten »
Hyperbel als Höhenschnittpunkt Meine Frage: Hallo, ich bräuchte mal eure Hilfe. Dass der Höhenschnittpunkt eines Dreiecks eine Parabel beschreibt, wenn ein Eckpunkt des Dreiecks auf einer zur Grundseite parallelen Geraden verschoben wird, habe ich bereits beweisen. Nun möchte ich diesen Fall verallgemeinern, in dem die Gerade eine beliebige Lage haben kann. Meine Ideen: Ich habe folgende Überlegungen angestellt: Habe das Dreieck so in ein Koordinatensystem gelegt, dass die Grundseite mittig auf der x-Achse liegt, d.h. A(-a/0) und B(a/0). Die Gerade, auf der der Punkt C verschoben wird, hat die Form y= mt+c. Somit gilt C=(t/mt+c). Der Höhenschnittpunkt H hat die Koordinaten H(x/y). Nun zum Aufstellen der Höhengleichungen: h_c: x=t h_b: y= -(1/m_b)x+b Die Steigung der Seite b, die senkrecht zur Höhe ist, habe ich über das Steigungsdreieck der Punkte A und C bestimmt (m_b= (mt+c-0)/(t+a)) Den y-Achsen-Abschnitt errechnet man über den Punkt B durch den die Höhe geht. Es ergibt sich also: h_b: y= -((t+a)/(mt+c)x+(t+a)/(mt+c)a Schneidet man die beiden Höhen, so erhällt man den Höhenschnittpunkt y= -(x+a)/(mx+c)x+(x+a)/(mx+c)a Umgeformt: y(mx+c)= -x^2+a^2 Nun bräuchte ich aber die Hyperbelform x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 Kann mir hierbei vielleicht jemand weiterhelfen? Edit (mY+): EIN Fragezeichen reicht! [???????????] Vielen Dank!
18.07.2012, 15:51	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine interessante Sache. Um die Hyperbel - deren Gleichung hast du übrigens richtig - in Hauptachsenlage zu bekommen, musst du eine HAT (Hauptachsentransformation) durchführen, denn diese Hyperbel ist derzeit aus der Hauptlage gedreht und verschoben. Die Gleichung ist allerdings auch explizit zu schreiben: $\begin{eqnarray} y = \frac {a^2 - x^2}{mx + c} \end{eqnarray}$ Rot: Gegebene Gerade Grün: Hyperbel Blau: Asymptote a = 4, c = 6 Wir erkennen eine Asymptote: x = -c und den Scheitel als den der Geraden nächstliegenden Punkt. Die Hyperbel geht durch die gegebenen Punkte A, B (Endpunkte der Basisstrecke des Dreieckes) Auch die 2. Asymptote (deren Gleichung folgt aus der Polynomdivision und Grenzwertbildung) erscheint als die blaue Gerade und der Mittelpunkt hat dann die Koordinaten M(-c; 2c). mY+
19.07.2012, 10:11	NiFy	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort ! Leider komme ich damit nihct ganz so weiter Kann ich denn anhand der Gleichung y=( a²-x²)/(mx+c) erkennen, dass es eine Hyperbel ist? Ich brauche doch ein y²,oder? LG
19.07.2012, 11:51	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nicht immer. Du solltest genauer lesen, was ich im vorigen Beitrag geschrieben habe (!). Beispielsweise die um 45 gedrehte Hyperbel $\begin{eqnarray} x^2 - y^2 = 1 \end{eqnarray}$ lautet $\begin{eqnarray} xy = 1 \end{eqnarray}$ Wieso du damit nicht weiter kommst, ist mir nicht klar; schöner aufbereitet als hier (mehr als erlaubt ist, denn Komplettlösungen dürfte es eigentlich nicht geben) kann es doch kaum noch sein, oder? mY+
23.07.2012, 15:21	NiFy	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich habe schon verstanden, dass bei einer Hyperbelgleichung die Drehung an der xy-Komponente zu erkennen ist. Meine Frage ist aber, ob man zeigen kann, dass y=( a²-x²)/(mx+c) eine Hyperbel ist, die in einer beliebigen Lage ist? Ich kenne nur Hyperbelgleichungen, die y² enthalten -wie kann ich zeigen (ohne Asymptoten), dass es eine Hyperbel ist? Vielen Dank!
24.07.2012, 15:32	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch schon gesagt: HAT (Hauptachsentransformation). Die Gleichung mit dem Nenner multiplizieren, ordnen (-->Quadrik). Anhand der Koeffizienten kann dann der Typ der Kurve 2. Ordnung festgestellt werden (Ellipse, Hyperbel, ...). mY+
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