Linearität, Unterschied zwischen R^2 und R x R

17.07.2012, 22:48

TommyAngelo

Linearität, Unterschied zwischen R^2 und R x R

Ich habe mir mal Folgendes überlegt:

Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2 \to \mathbb R, \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=:x \mapsto x_1+x_2 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist f linear, denn es gilt $\begin{eqnarray*} \forall x,y \in \mathbb R^2, a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} f(ax + y) = f\left(\begin{pmatrix} ax_1 + y_1 \\ ax_2 + y_2 \end{pmatrix}\right) = ax_1 + y_1 + ax_2 + y_2 = a(x_1 + x_2) + y_1 + y_2 = af(x)+f(y) \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} g: \mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R, (x,y) \mapsto x+y \end{eqnarray*}$

Dann ist g aber nicht (bi)linear, denn es gilt im Allgemeinen:

$\begin{eqnarray*} f(x+z,y) = x+z+y \neq x+z+2y = x+y+z+y = f(x,y)+f(z,y) \end{eqnarray*}$

Das heißt doch nun, dass es darauf ankommt, ob man $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ meint. Habe ich Recht?

17.07.2012, 22:58

Captain Kirk

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Zitat:

dass es darauf ankommt, ob man $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ meint

Wo siehst du einen Unterschied zwischen diesen beiden Objekten?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x+z,y) = x+z+y \neq x+z+2y = x+y+z+y = f(x,y)+f(z,y) \end{eqnarray*}$

Das ist kein Gegenbsp. zur Linearität, da auch $\begin{eqnarray*} (x+z,y) \neq (x+z,2y)=(x,y)+(z,y) \end{eqnarray*}$

17.07.2012, 23:06

TommyAngelo

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Linearität im 1. Argument heißt doch:
$\begin{eqnarray*} f(x+z,y) =f(x,y)+f(z,y) \end{eqnarray*}$

siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Bilineare_Abbildung

17.07.2012, 23:16

Captain Kirk

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Bilineare und lineare Abbildung sind ganz verschiedene Sachen. verwirrt

(und ich hab' deine Klammerung vorher überlesen).
Aus Linearität folgt i.A. nicht Linearitär in irgendeinem Argument, genausowenig wie aus Bilinearität Linearität folgt.

17.07.2012, 23:22

TommyAngelo

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Heißt das dann im Allgemeinen, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{Hom}(V\times V,K) \not\simeq \operatorname{Hom}(V^2,K) \end{eqnarray*}$ , auch wenn $\begin{eqnarray*} V\times V \simeq V^2 \end{eqnarray*}$ ?

17.07.2012, 23:30

Captain Kirk

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Nein, ich hab doch schon vorher gefragt wo du den Unterschied zwischen VxV und V^2 (am Bsp. der reellen Zahlen) siehst.
Dein Verständnisproblem ist folgendes:
Da ist keiner.
(mal abgesehen von leichten Unterschieden in der Verwendung durch verschiedene Mathematiker)

17.07.2012, 23:41

TommyAngelo

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Ich glaube, so langsam wird es mir klar.
Ich dachte zuerst, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{Hom}(\mathbb R \times \mathbb R,\mathbb R) \end{eqnarray*}$ nur eindimensional wäre, weil ich nur eine Funktion der Form $\begin{eqnarray*} g(x,y) = axy, a\in K \end{eqnarray*}$ im Kopf hatte. Diese ist bilinear, aber nicht linear, d.h. der Raum der bilinearen Abbildungen ist in diesem Fall eindimensional, also etwas völlig anderes als $\begin{eqnarray*} \operatorname{Hom}(\mathbb R \times \mathbb R,\mathbb R) \end{eqnarray*}$ , der zweidimensional und doch isomorph zu $\begin{eqnarray*} \operatorname{Hom}(\mathbb R^2,\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ist, richtig?

17.07.2012, 23:48

Math1986

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Noch einmal: Worin stehst du den Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R\times\mathbb R \end{eqnarray*}$ ? Da gibt es keinen, immer noch nicht.. unglücklich

Obwohl diese Frage schon gestellt wurde redest du weiterhin um den heißen Brei herum.

18.07.2012, 00:03

TommyAngelo

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Schande über mich, weil ich frage. Wozu ist ein Forum überhaupt da?

Ja, alles klar. Es besteht die Gleichheit. Die Schreibweise ist nur anders.

18.07.2012, 00:22

Captain Kirk

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Zitat:

Schande über mich, weil ich frage. Wozu ist ein Forum überhaupt da?

Es mag der späten Stunde geschuldet sein, aber was soll diese Ironie?

Das Forum ist dazu da, dass Leuten wie Dir geholfen wird was zu verstehen.
Dazu werden die Helfenden Posts schreiben die auch Rückfragen enthalten. Die Höflichkeit gebietet, meines Erachtens, auf den Helfenden einzugehen, immerhin versucht hier ja jemand dir zu helfen, und das heißt den Post durchzulesen, durchzudenken und auf Rückfragen einzugehen. Der Helfende dürfte sich bei seinem Post ja was gedacht haben und schreibt i.d.R nicht irgendwelche Sachen zum Spaß oder zum Trollen hin. Es wäre also in Deinem Sinne darauf auch einzugehen, insbesondere wenn etwas explizit wiederholt wird - was ich zumindest nicht machen würde wenn es nicht wichtig wäre.
Aus meiner Sicht warst du zuerst, wohl aus Nachlässigkeit, unhöflich und hast dann, nach dem dementsprechenden Hinweis von Math1986, auch noch beleidigt reagiert. Und damit verwende ich jetzt auch mal Ironie: Freude

Und nur am Rande: Als Math1986 gepostet hat war ich gerade dabei einen fast identischen Post abzugeben.

18.07.2012, 01:09

TommyAngelo

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Es zwingt euch niemand zu schreiben. Und wenn ihr schreibt, könnt ihr das auch emotionslos machen. Das Forum ist nicht dazu da, um den Ungeduldigen zu spielen.

Ich hab an der Isomorphie gehangen, ohne sofort die Gleichheit zu sehen. Und ihr habt eben so reagiert, wie ich es gebraucht hab. Manchmal muss man halt reinprügeln, danke.

Stimmt es überhaupt, dass der Raum der bilinearen Abbildungen in dem Fall (also von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ) eindimensional ist? Die Basis ist dann $\begin{eqnarray*} \{f(x,y)=xy\} \end{eqnarray*}$

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