Summen Zusammenfassung

18.07.2012, 01:59

martinio

Summen Zusammenfassung

Hallo Freunde Wink

habe hier ein klitzekleines Problemchen.

$\begin{eqnarray*} g(x) = x^{T} * C * x + b^{T} * x + d \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb R ; d \in \mathbb R , \end{eqnarray*}$ und C sei symmetrisch und positiv definit. Ich soll das ganze auf strikte konvexität untersuchen.

Bin auf die Idee gekommen das mit dem charakteristischen Polynom zumachen, was aber ziemlich viel Arbeit ist. Und will das ganze nun in Summen zusammefassen.

$\begin{eqnarray*} g(x) = \left[ \sum\limits_{i=1}^n x_{i} * \left( \sum\limits_{k=1}^n C_{ki} * x_{k}\right) \right] + \sum\limits_{l=1}^n b_{l}*x_{l} + d \end{eqnarray*}$

Ist der Term soweit richtig? Die Elemente in C sind ja (a_11 , a_12 , ... , a_33 ) für ne 3x3 Matrix. Bezeichnet das Element C_11 z.b. a_11 ? Weil sonst passt es nicht,

Gruß

18.07.2012, 11:27

Leopold

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Nach dem Distributivgesetz kannst du die erste Summe unter ein Summenzeichen ziehen. Sind also die $\begin{eqnarray*} c_{ik} \end{eqnarray*}$ die Elemente der symmetrischen Matrix $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ und die $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ die Komponenten des Spaltenvektors $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , so gilt

$\begin{eqnarray*} q(x) = x^{\top} C x = \sum_{i,k} c_{ik} x_i x_k = \sum_i c_{ii} {x_i}^2 + 2 \sum_{i<k} c_{ik} x_i x_k \end{eqnarray*}$

Als Hesse-Matrix der quadratischen Form $\begin{eqnarray*} q(x) \end{eqnarray*}$ sollte sich gerade

$\begin{eqnarray*} q''(x) = C \end{eqnarray*}$

ergeben.

18.07.2012, 11:55

Mystic

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Zitat:

Original von Leopold
Als Hesse-Matrix der quadratischen Form $\begin{eqnarray*} q(x) \end{eqnarray*}$ sollte sich gerade

$\begin{eqnarray*} q''(x) = C \end{eqnarray*}$

ergeben.

Naja, wenn wir jetzt nur mal den allereinfachsten Fall n=1 betrachten, also dann Polynome der Gestalt

$\begin{eqnarray*} cx^2+bx+d \end{eqnarray*}$

und davon die 2.Ableitung, so sieht man, dass der Faktor 2 fehlt... Augenzwinkern

18.07.2012, 18:58

Leopold

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[Ausrede]Wie gut, daß ich "sollte" gesagt habe. Das läßt einen Rest von Ungewißheit und meint natürlich hier "bis auf einen konstanten skalaren Faktor"[/Ausrede]

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