Weierstraßscher Approximationssatz

18.07.2012, 11:19

ana-idi

Weierstraßscher Approximationssatz

Meine Frage:
Aufgabe 1: Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage.
Es sei D = (0; 1]. Ist f : D ! R eine beschr¨ankte stetige Funktion, so existiert eine Folge von
Polynomen, die auf D gleichm¨aßig gegen f konvergiert.

Meine Ideen:
hab mir gedacht dass das was mit dem approximationssatz von weierstraß zu tun hat und dass es nicht stimmt weil der satz ja nur für kompakte intervalle gilt aber ich hab keine ahnung ob ich damit überhaupt weiterkomme und wenn ja wie ... tipps wären echt nett smile

18.07.2012, 11:52

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde da einmal so etwas wie

$\begin{eqnarray*} f: \ (0,1] \to [0,1] \, , \ \ x \mapsto \frac{1}{2} \cdot \left( 1 + \sin \frac{\pi}{2x} \right) \end{eqnarray*}$

probieren. Diese Funktion ist stetig und hat Nullstellen an allen Stellen

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{n} \ \ \text{mit} \ \ n \in \mathbb{Z}, \ n>0, \ n \ \text{ungerade} \end{eqnarray*}$

läßt sich aber bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ nicht stetig ergänzen.

18.07.2012, 12:07

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: weierstraßscher approximationssatz
Wieso nicht einfach $\begin{eqnarray*} \sin\tfrac1x \end{eqnarray*}$ ? Da kann man zeigen, dass jedes Polynom in der Supremumsnorm mindestens Abstand 1 zu dieser Funktion hat.

mfg,
Ché Netzer

18.07.2012, 12:17

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: weierstraßscher approximationssatz

Zitat:

Original von Che Netzer
Wieso nicht einfach $\begin{eqnarray*} \sin\tfrac1x \end{eqnarray*}$ ?

Das hat etwas mit Ästhetik zu tun. Augenzwinkern

de gustibus non est disputandum

Neue Frage »

Antworten »

Weierstraßscher Approximationssatz

Verwandte Themen