Grenzwert vom (1+1/(n^2))^n

18.07.2012, 11:59	AbcdefGhi	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert vom (1+1/(n^2))^n Meine Frage: Hallo, ich soll beweisen dass der Grenzwert von (1+1/(n^2))^n 1 ist! Meine Ideen: Ich hätte es in (1+-i/n)^n(1+i/n)^n zerlegt. Denn lim (1+x/n)^n konvergiert gegen e^x. Dann waere e^(-i) * e^i = 1 Allerd ings funktioniert das nur mit reellen Zahlen.. Deswegen weiß ich nicht weiter & würde mich ueber jede Hilfe freuen!
18.07.2012, 12:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Offenbar gilt $\begin{eqnarray} \left( 1 + \frac{1}{n^2} \right)^n \geq 1^n = 1 \end{eqnarray}$ und für das Reziproke gemäß Bernoullischer Ungleichung $\begin{eqnarray} \left( 1 + \frac{1}{n^2} \right)^{-n} = \left( 1 - \frac{1}{n^2+1} \right)^{n} \geq 1-\frac{n}{n^2+1} \end{eqnarray}$ , was zu einem passenden Sandwich führt.
18.07.2012, 12:08	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert vom (1+1/(n^2))^n Wie wär's denn damit: $\begin{eqnarray} \left ( 1+\frac{1}{n^2}\right )^n = \sqrt[n]{\left ( \left ( 1+\frac{1}{n^2}\right )^n\right )^n} = \sqrt[n]{\left ( 1+\frac{1}{n^2}\right )^{n^2}} \end{eqnarray}$ Das Sandwichlemma liefert den Rest.
18.07.2012, 12:17	AbcdefGhi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Abschaetzung nach unten ist dann wohl 1+1/n, konvergent gegen 1 fuer n gegen unendlich. Aber die Abschaetzung nach oben hab ich noch nicht verstanden!

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