Faltungsprodukt, Grenzen des Integrals und Änderung der Variablen

18.07.2012, 12:41

Evaneszent

Faltungsprodukt, Grenzen des Integrals und Änderung der Variablen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich hab hier eine Aufgabe, bei der ich folgendes Problem habe:

eigentlich verstehe ich alles, nur bei dem Teil, welchen ich rot hinterlegt habe, hackt es bei mir.
ich kann mir einfach nicht erklären wie sich die exponenten von e ergeben?

Vielen lieben Dank schon mal!

Meine Ideen:
Hab leider keinen Ansatz, hat irgendwas mit dem Betrag zu tun, kann es mir allerdings nicht plausibel erklären!

18.07.2012, 13:27

Hoodaly

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RE: Faltungsprodukt, Grenzen des Integrals und Änderung der Variablen
Hallo Evaneszent,

das Intervall $\begin{eqnarray*} ]-\infty, \infty[ \end{eqnarray*}$ wurde in drei Teilintervalle aufgeteilt.
$\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ bewegt sich immer zwischen den Integrationsgrenzen.
Im ersten, $\begin{eqnarray*} [t, \infty[ \end{eqnarray*}$ , ist klar $\begin{eqnarray*} \tau \ge t \ge 0 \end{eqnarray*}$ und damit
$\begin{eqnarray*} e^{-|t-\tau|-|\tau|} = e^{-|\tau-t|-\tau}=e^{-\tau+t-\tau}=e^{t-2\tau} \end{eqnarray*}$ .
Im zweiten, $\begin{eqnarray*} [0, t] \end{eqnarray*}$ , ist $\begin{eqnarray*} t \ge \tau \ge 0 \end{eqnarray*}$ ,
Im dritten, $\begin{eqnarray*} ]-\infty , 0] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} t \ge 0 \ge \tau \end{eqnarray*}$ .
Für das zweite und dritte Teilintegral kann man auf die selbe Weise wie für's erste auf die Lösung kommen.

LG Hoodaly

18.07.2012, 13:45

Evaneszent

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Hallo Hoodaly,

schon mal vielen Dank!

Irgendwie hab ich da einen Knoten im Kopf!

mit welchen Regeln kommt die Umformung $\begin{eqnarray*} e^{-|t-\tau|-|\tau|} = e^{-|\tau-t|-\tau} \end{eqnarray*}$ zustande?

Vielen Dank!

18.07.2012, 13:57

Math1986

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Zitat:

Original von Evaneszent
mit welchen Regeln kommt die Umformung $\begin{eqnarray*} e^{-|t-\tau|-|\tau|} = e^{-|\tau-t|-\tau} \end{eqnarray*}$ zustande?

Auf Grund der Tatsache

Zitat:

Original von Hoodaly
Im ersten, $\begin{eqnarray*} [t, \infty[ \end{eqnarray*}$ , ist klar $\begin{eqnarray*} \tau \ge t \ge 0 \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} |\tau|=\tau \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} |\tau-t|=\tau-t \end{eqnarray*}$

18.07.2012, 14:19

Hoodaly

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Um noch einmal das $\begin{eqnarray*} |t-\tau|= |\tau - t| \end{eqnarray*}$ zu erklären:
Du klammerst ein -1 aus, was durch die Betragsstriche wieder wegfällt.
$\begin{eqnarray*} |t-\tau| = |-(\tau - t)| = |(\tau - t)| \end{eqnarray*}$

18.07.2012, 14:30

Evaneszent

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Hi zusammen,

vielen Dank, jetzt hats klick gemacht!

wünsch noch einen schönen Tag!

18.07.2012, 14:56

Evaneszent

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Hallo nochmal,

irgendwie hab ich hier einen Vorzeichendreher drinnen!

ich bekommen für den Fall 3 $\begin{eqnarray*} e^{-t-2\tau} \end{eqnarray*}$ raus

Kann mir vielleicht jemand die Lösungswege für den Fall 2 und 3 schritt für schritt aufschreiben, dann könnte ich mal vergleichen wo der Fehler bei mir ist!

Nochmals vielen Dank für euer Bemühen und eure Zeit!

18.07.2012, 15:48

Hoodaly

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2:
$\begin{eqnarray*} [0,t] \Rightarrow t\ge\tau\ge 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-|t-\tau|-|\tau|}=e^{-(t-\tau)-\tau}=e^{-t+\tau-\tau}=e^{-t} \end{eqnarray*}$

3:
$\begin{eqnarray*} [-\infty, 0] \Rightarrow t\ge 0\ge \tau \Rightarrow -\tau \ge 0, ~t-\tau \ge 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-|t-\tau|-|\tau|}=e^{-(t-\tau)-|-\tau|}=e^{-t+\tau+\tau}=e^{-t+2\tau} \end{eqnarray*}$

LG Hoodaly

19.07.2012, 10:52

Evaneszent

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Hey Hoodaly,

super!
vielen Dank das hat mir echt weiter geholfen, hab endlich verstanden wie das mit den Beträgen und den Grenzen funktioniert!

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