Dgl mit Matrizen und Vektoren

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18.07.2012, 13:32	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Dgl mit Matrizen und Vektoren Meine Frage: Hallo Leute, ich möchte gerne folgende Aufgabe lösen: Wir betrachten die DGL: $\begin{eqnarray} v' = \vec{E} + v \times \vec{B} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \vec{E} ; \vec{B} \in \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \times \end{eqnarray}$ das Kreuzprodukt in $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ bezeichne. (a) Schreiben sie die DGL in der Form $\begin{eqnarray} v' = M_{ \vec{B}}v + \vec{E} \end{eqnarray}$ (b) Es seien $\begin{eqnarray} \vec{B} := (0,0,B)^T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{E} = (E_1, E_2, 0)^T \end{eqnarray}$ Berechnen Sie: $\begin{eqnarray} e^{tM_{\vec{B}}} \end{eqnarray}$ und lösen Sie die DGL (c) folgt dann später.. Meine Ideen: Also zu (a) Hier muss ich ja eine Matrix finden, so dass Mv eben gerade das Kreuzprodukt von B und v darstellt. Das müsste mit dieser Matrix gehen: $\begin{eqnarray} M_{ \vec{B}} = \begin{pmatrix} 0 & -b_3 & b_2 \\ b_3 & 0 & -b_2 \\ -b_2 & b_1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für ein allgemeines $\begin{eqnarray} \vec{B} \end{eqnarray}$ dann hat die DGL die Form: $\begin{eqnarray} v' = \begin{pmatrix} 0 & -b_3 & b_2 \\ b_3 & 0 & -b_2 \\ -b_2 & b_1 & 0 \end{pmatrix} \cdot v + \vec{E} \end{eqnarray}$ passt das? Zu (b): Also erstmal schaue ich mir $\begin{eqnarray} tM_{\vec{B}} \end{eqnarray}$ mit dem $\begin{eqnarray} \vec{B} \end{eqnarray}$ aus Teil (b) an. Das müsste so aussehen: $\begin{eqnarray} tM_{\vec{B}} = \begin{pmatrix} 0 & -tB & 0 \\ tB & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und jetzt muss ich: $\begin{eqnarray} exp(\begin{pmatrix} 0 & -tB & 0 \\ tB & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ bestimmen. gibts hier einen Trick, der mit das Leben erleichtert oder muss ich wirklich mit: $\begin{eqnarray} exp(A) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} A^n \end{eqnarray}$ arbeiten? Danke für die Hilfe EDIT: Ich habe in Matlab mal paar Beispiele gemacht, da sieht es so aus, als könnte ich das exp() einfach in die Matrix ziehen: also würde folgen: $\begin{eqnarray} exp(\begin{pmatrix} 0 & -tB & 0 \\ tB & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} )<br /> <br /> = \begin{pmatrix} 1 & e^{-tB} & 1 \\ e^{tB} & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} <br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$ passt das?
19.07.2012, 06:24	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, a) Das passt. b) Das stimmt nicht, du kannst exp nicht einfach so reinziehen. Dein Programm hat das falsch interpretiert und exp von einzelnen Elementen berechnet, was du aber nicht haben willst. Für Matrixexponential gibt es meistens ein extra Befehl. Mach das mit der Summe, das ist relativ einfach. Multipliziere deine Matrix ein Paar Mal mit sich selbst, dann wirst du schon sehen, wie der Hase läuft.
19.07.2012, 10:18	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar habe ich mittlerweile auch gemacht, ich poste mal das Ergebnis! $\begin{eqnarray} e^{tM_{\vec{B}}} = \begin{pmatrix} cos(tB) & -sin(tB) & 0 \\ sin(tB) & cos(tB) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ müsste passen oder? So jetzt muss ich ja die DGL lösen, sowas habe ich noch nie gemacht, also noch nie so ein System von DGL's. Ich nehme an, dass auch hier zunächst den homogenen Teil löse und dann wie sonst verfahre oder? Die Dgl lautet ja: $\begin{eqnarray} v' = \begin{pmatrix} 0 & -B & 0 \\ B & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot v + \begin{pmatrix} E_1 \\ E_2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ homogener Teil: $\begin{eqnarray} v' = \begin{pmatrix} 0 & -B & 0 \\ B & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot v \end{eqnarray}$ jetzt weiß ich nicht so recht, wie ich das v auf die andere Seite bekomme?
19.07.2012, 16:44	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe gelesen, dass man das einfach mit dem Ansatz machen kann, der für übliche DLG der Form auch gilt, also habe ich gerade mein $\begin{eqnarray} e^{tM_{\vec{B}}} \end{eqnarray}$ als Lösung meiner homogenen DGL. $\begin{eqnarray} v(t) = c \cdot e^{tM_{\vec{B}}} \end{eqnarray}$ so jetzt muss ich doch noch, das inhomogene Problem lösen, geht das auch mit Variation der Konstanten?
19.07.2012, 17:10	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja es geht mit Variation der Konstanten. Du kannst aber auch versuchen den Ansatz zu raten.
19.07.2012, 17:48	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte jetzt erstmal ganz einfach gesagt: $\begin{eqnarray} y(t) = e^{tM_{\vec{B}}} + t \vec{E} \end{eqnarray}$ wenn ich das Ableite habe ich ja wieder meine DGL oder?
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19.07.2012, 18:16	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo sind die Konstanten, die Anfangsbedingungen berücksichtigen?
19.07.2012, 18:27	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Mh, also kannst du mir nen Tipp geben, wie man die Lösung errät?
19.07.2012, 19:05	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung für den homogenen Teil ist $\begin{eqnarray} \vec v(t) = e^{tM_{\vec B}} \vec c \end{eqnarray}$ Es gibt ein Vektor aus Konstanten $\begin{eqnarray} \vec c \end{eqnarray}$ . Beachte die Reihenfolge, denn es handelt sich um eine Matrixmultiplikation. Kannst du von hier aus weiter mit Variation der Konstanten machen?
19.07.2012, 19:44	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also dann versuche ich es mal $\begin{eqnarray} v'(t) = M_{\vec{B}} e^{tM_{\vec{B}}} \cdot c(t) + e^{tM_{\vec{B}}} \cdot c'(t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c(t) = e^{-tM_{\vec{B}}}v(t) \end{eqnarray}$ also folgt: $\begin{eqnarray} v'(t) = M_{\vec{B}} v(t) + e^{tM_{\vec{B}}} c'(t) \end{eqnarray}$ also muss ich noch: $\begin{eqnarray} e^{tM_{\vec{B}}} c'(t) = \vec{E} \end{eqnarray}$ lösen oder? also: $\begin{eqnarray} c(t) = \int \! ( e^{-tM_{\vec{B}}} ) \cdot \vec{E} \, dt \end{eqnarray}$
19.07.2012, 20:10	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip ja. Ein Paar Kleinigkeiten, wie Vektoren und verschiedene Bezeichnungen für verschiedene Lösungen wären nicht schlecht, wenn du es sauber aufschreibst.
19.07.2012, 20:19	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das Integral schön zu bestimmen? Das $\begin{eqnarray} \vec(E) \end{eqnarray}$ hängt ja nicht von t ab, das kann ich ja vor das Integral ziehen oder? Dann ist nur noch die Stammfunktion von: $\begin{eqnarray} e^{-tM_{\vec{B}}} \end{eqnarray}$ gesucht oder? die ist ja aber gerade: $\begin{eqnarray} \int \! e^{-tM_{\vec{B} }} \, dt = - M_{\vec{B}}^{-1} e^{-tM_{\vec{B} }} \end{eqnarray}$
19.07.2012, 20:35	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Vor intergral kannst du $\begin{eqnarray} \vec E \end{eqnarray}$ nicht ziehen, denn $\begin{eqnarray} e^{-tM} \end{eqnarray}$ ist eine Matrix die mit einem Vektor $\begin{eqnarray} \vec E \end{eqnarray}$ multipliziert wird, Reihenfolge darf nicht vertauscht werden. Allerdings kannst du direkt $\begin{eqnarray} e^{-tM} \end{eqnarray}$ integrieren, indem du einzelne Komponente integrierst. Integration von sin und cos sollte keine Probleme darstellen. PS: Vergess die Grenzen nicht.
19.07.2012, 21:00	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
welche Grenzen? Hat das Integral welche?
19.07.2012, 21:26	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} X'(t)=AX(t)+F(t), ~~~ X(t_0)=X_0 \end{eqnarray}$ ist die spezielle Lösung $\begin{eqnarray} X(t)=e^{At}\left(\int_{t_0}^t e^{-uA} F(u) du + X_0 \right) \end{eqnarray}$ Irgendwo muss du ja auch deine Anfangsbedingungen berücksichtigen.
22.07.2012, 12:22	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das wäre sicher sinnvoll, aber ich habe ja keine Anfangsbedingung gegeben, also kann ich doch auch "irgendeine" Stammfunktion nehmen!

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