Restgliedabschätzung

18.07.2012, 13:57	YPOC	Auf diesen Beitrag antworten »
Restgliedabschätzung Meine Frage: Hallo, ich habe das Problem, dass ich bei der Lagrange'schen Restgliedabschäzung nicht wirklich verstehe wie ich was abschätzen soll. Wir haben zum Beispiel die folgende Aufgabe: Ersetzen Sie $\begin{eqnarray} f(x) = (1+x^2)arctan(x) \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} T_{2,1}(x) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \|x-1\| \leq r \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0 < r \leq 1 \end{eqnarray}$ Dazu sollen wir auch das passende Restglied $\begin{eqnarray} R_{2,1}(x)=\frac{f'''(t)}{3!}(x-1)^3=\frac{2}{3} \frac{1}{(1+t^2)^2}(x-1)^3 \end{eqnarray}$ angeben. Das Taylorpolynom ist kein Problem, allerdings tu ich mich mit der Abschätzung sehr schwer. Meine Ideen: Ich weiß, dass $\begin{eqnarray} t \in (x;1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|R_{2,1}(x)\|=\frac{2}{3} \frac{1}{(1+t^2)^2}\|x-1\|^3 \end{eqnarray}$ . Die Funktion, die ich abschätze, muss größer sein als R, und durch $\begin{eqnarray} \|x-1\| \leq r \end{eqnarray}$ kann ich auch schonmal sagen, dass $\begin{eqnarray} \|R_{2,1}(x)\|=\frac{2}{3} \frac{1}{(1+t^2)^2}\|x-1\|^3 \leq \frac{2}{3} \frac{1}{(1+t^2)^2}r^3 \end{eqnarray}$ . Aber weiter?
18.07.2012, 14:02	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Es fehlt nun nur noch ein Schritt: Du kannst t noch abschätzen.
18.07.2012, 14:24	YPOC	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde jetzt mal sagen aus $\begin{eqnarray} t \in (x;1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|x-1\| \leq r, 0<r \leq 1 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \|t-1\| \leq r \end{eqnarray}$ , aber wie hilft mir das weiter? Ich muss ja irgendetwas abschätzen, dass kleiner gleich (1+t²)² ist, oder? ???
18.07.2012, 14:29	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann löse die Betragsungleichung mit t doch mal auf...
18.07.2012, 14:54	YPOC	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst $\begin{eqnarray} \|t-1\| \leq r \end{eqnarray}$ ? t ist kleiner 1: $\begin{eqnarray} 1-t \leq r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leftrightarrow t \geq 1-r \end{eqnarray}$ Aah, jetzt habe ich's! Danke! Ist wohl zu spät geworden gestern... mit $\begin{eqnarray} t \geq 1-r \end{eqnarray}$ kann man nun schreiben $\begin{eqnarray} \frac{2}{3} \frac{1}{(1+t^2)^2}\|x-1\|^3 \leq \frac{2}{3} \frac{1}{(1+(1-r)^2)^2}r^3 = \frac{2r^3}{3(r^2-2r+2)^2} \end{eqnarray}$ Könntest du mir denn trotzdem bitte genau erklären, wie ich vorzugehen habe, vor allem bei anderen Kriterien? Oder eine kleine Eselsbrücke?
18.07.2012, 14:58	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Das allgemeine Vorgehen bei der Restgliedabschätzung hast du oben schon beschrieben: So abschätzen, dass das, was du herausbekommst größer ist als R. Wenn man etwas im Nenner abschätzt muss man natürlich vorsichtig sein: Wird der Nenner kleiner, wird der gesamte Term größer.
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