Quotientenräume U/V ?

18.07.2012, 14:35

Teilmengenmännchen

Quotientenräume U/V ?

Hi,
Wäre folgende Definition für Quotientenräume richtig?

Sei V ein VR (z.B. R^2) und U ein UVR von V (z.B. die Y-Achse, der R^1) so ist der Quotientenraum V/U (sozusagen V ohne U) die Menge {[x]/x e V}, mit [x] ist die Äquivalenzklasse zu x gemeint.

für f (lineare Abb. von R->R (= U)) folgt dann, dass f:R->[x] ?

Eigenschaften:
Sei V VR und U UVR zu V, weiter B1 Basis von V und B2 Basis von U
wie kann man dann die Basis von V/U darstellen? sowas wie B3 von V/U ist {b1-b2/b1 e B1, b2 e B2} aber das macht kein Sinn da ja B1 und B2 verschiedene Dimensionen haben.

das einzige was ich sagen könnte ist dim(V/U)=dimV-dimU aber gibt es auch eine explizite Darstellung?

mfg :-)

18.07.2012, 15:31

DP1996

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RE: Quotientenräume U/V ?

Zitat:

Original von Teilmengenmännchen
Quotientenraum V/U (sozusagen V ohne U)

Nein! Es gibt nicht umsonst sowohl / wie auch \, und der Quotientenraum ist nicht einfach das V ohne U. Allerdings ist er isomorph zu einem (beliebigen) Komplement von U in V - da besteht jedoch ein Unterschied zu dem, was du geschrieben hast.

Zitat:

für f (lineare Abb. von R->R (= U)) folgt dann, dass f:R->[x] ?

Was ist R? warum bildest du die ganze Menge auf ein Element ab?

Zitat:

Eigenschaften:
Sei V VR und U UVR zu V, weiter B1 Basis von V und B2 Basis von U
wie kann man dann die Basis von V/U darstellen?

Du kannst ine Basis von U so wählen, dass sie Teilmenge einer Basis von V ist. Und dann denk an das, was ich oben über Komplemente schrieb.

18.07.2012, 16:25

Teilmengenmännchen

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zum 1.
was meinst du mit unterschied zwischen / und \ ?
/ ist denk ich sowas wie Minus aber benutze ich auch für "mit der Bedingung" in Mengen z.B. A:={x / f(x)=0}

was ist jetzt \ ?

ist meine Definition falsch oder richtig?

zum 2.
mit R mein ich den Vektorraum der reellen Zahlen

und ich meinte auch f:R->{[x] / x e V}
also die Funktion die vorher im R^2 war ist nun im V/U = R^2/R oder?

zum 3.
WiSo kann ich das machen ?
z.B.
Sei V = R^3 und der R^2 sei U. R^2 ist UVR des R^3.
Bestimme Basis:
V=Lin(e1,e2,e3) mit e1,e2,e3 Standartbasis des R^3
U=Lin(h1,h2) mit h1,h2 Standartbasis des R^2

aber die Vektoren h1,h2 sind 2 Dimensional und die e1,e2,e3 sind 3-Dimensional,
wie soll ich da ne Teilmenge auswählen bei unterschiedlichen Dimensionen???

mfg

18.07.2012, 20:16

DP1996

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1.
\ ist eine Verknüpfung von Mengen und heißt einfach $\begin{eqnarray*} A \setminus B=\left\{a\in A|a\not\in B\right\} \end{eqnarray*}$ und wird "A ohne B" gesprochen.
Im Gegensatz dazu ist $\begin{eqnarray*} V/U=\left\{v+U|v\in V\right\} \end{eqnarray*}$ - oder eben die Menge der Äquivalenzklassen der Relation ~ definiert durch $\begin{eqnarray*} v\sim w \Leftrightarrow v-w\in U \end{eqnarray*}$ .

Deine Definition war weder richtig noch falsch, sie war nichtssagend, weil du die Äquivalenzrelation nicht definiert hattest.

Zu 2. und 3.
Um ein bei dir wohl fest verankertes Missverständnis auszuräumen: Ein $\begin{eqnarray*} K^{a} \end{eqnarray*}$ ist nicht UVR eines $\begin{eqnarray*} K^{b} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\leq b \end{eqnarray*}$ - denk dran, dass ein Untervektorraum eine Teilmenge sein muss!
Du kannst also allerhöchstens sagen, ich wähle einen Untervektorraum, der - in deinem Beispiel - isomorph zum R^1 ist, der ist aber längst nicht eindeutig, besteht nämlich aus der Menge aller Ursprungsgeraden im R^2. Ich hoffe, dass dir jetzt meine obige Bemerkung etwas kverständlicher wird:

Zitat:

Du kannst ine Basis von U so wählen, dass sie Teilmenge einer Basis von V ist.

Explizit zu 2.

Zitat:

also die Funktion die vorher im R^2 war ist nun im V/U = R^2/R oder?

Die Funktion war vorher gar nirgends. dann ist deine Notation etwas verwirrend. Du meinst sicherlich: $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2/\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , wobei sich jetzt noch die FRage stellt, welches Element worauf abgebildet wird...
Es gibt eine "natürliche" Projektion, die x in [x] abbildet, vielleicht meintest du die, aber klarere Aufschriebe wären schön.

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