Ableitung Rentenbarwert nach i

18.07.2012, 15:18

Berti-82

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Ableitung Rentenbarwert nach i

Hey Leute,

ich brauch mal wieder eure Hilfe.
Ich stecke bei der Ableitung der Rentenbarwertgleichung nach i fest.
Das ist die Ausgangsfunktion, wobei q=1+i ist.

$\begin{eqnarray*} f(i)=-R0+r\frac{q^{n} -1}{q^{n} i} \end{eqnarray*}$

Meine Ableitung lautet:

$\begin{eqnarray*} f'(i)=r\frac{nq^{n-1} iq-(nq^{n-1} )(iq^{n} ) }{iq^{n} iq^{n} } \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? Wie kann ich außerdem die Formel weiter zusammenfassen?

Grüße

18.07.2012, 15:36

original

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RE: Ableitung Rentenbarwert nach i

Zitat:

Original von Berti-82

Das ist die Ausgangsfunktion, wobei q=1+i ist. verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} f(i)=-R0+r\frac{q^{n} -1}{q^{n} i} \end{eqnarray*}$

q=1+i

verwirrt

<- bist du sicher ?

dann wäre also

$\begin{eqnarray*} f(i)=-R0+r\frac{(1+i)^{n} -1}{(1+i)^{n}\cdot i} \end{eqnarray*}$

und deine "Ableitung" könntest du da dann irgendwie vergessen.. smile

smile

.

18.07.2012, 15:53

Berti-82

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RE: Ableitung Rentenbarwert nach i
Genau, aber warum könnte ich dann meine Ableitung vergessen?

18.07.2012, 16:09

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RE: Ableitung Rentenbarwert nach i

Zitat:

Original von Berti-82
Genau, aber warum könnte ich dann meine Ableitung vergessen?

versuch das mal selbst einzusehen:
nun also damit:

$\begin{eqnarray*} f(i)=-R0+r\frac{(1+i)^{n} -1}{(1+i)^{n}\cdot i} \end{eqnarray*}$

ableiten nach i
unter Verwendung der Quotientenregel (schreib dir die mal genau auf)
und zB bei der nebenher gebrauchten Ableitung des Nenners die Proktregel..

usw.

18.07.2012, 16:47

Berti-82

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RE: Ableitung Rentenbarwert nach i
Okay,

das Produkt im Nenner hab ich übersehen.
Jetzt erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} f'(i)=r\frac{nq^{n-1} iq^{n} -(inq^{n-1} +q^{n} )(q^{n} -1) }{iq^{n} iq^{n} } \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt korrekt?

18.07.2012, 21:26

Berti-82

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RE: Ableitung Rentenbarwert nach i
Also nach meiner Ausgangsformel erhalte ich ja:

$\begin{eqnarray*} u=q^{n} -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=nq^{n-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=iq^{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'=q^{n} +inq^{n-1} \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt, oder hab ich hier schon ein Fehler?

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18.07.2012, 22:02

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RE: Ableitung Rentenbarwert nach i

Zitat:

Original von Berti-82

Jetzt erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} f'(i)=r\frac{nq^{n-1} iq^{n} -(inq^{n-1} +q^{n} )(q^{n} -1) }{iq^{n} iq^{n} } \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt korrekt?

Freude

sieht gut aus

kannst du nun im nächsten Schritt im Zähler noch etwas umformen/zusammenfassen/vereinfachen? verwirrt

verwirrt

usw..

18.07.2012, 22:17

Berti-82

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RE: Ableitung Rentenbarwert nach i
An der Stelle scheitert es... :/
Kannst du mir auf die Sprünge helfen?

18.07.2012, 22:26

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RE: Ableitung Rentenbarwert nach i

Zitat:

Original von Berti-82

auf die Sprünge helfen?

Prost

eigentlich brauchst du keine grossen Sprünge ,

es genügt zB, wenn du zuerst einfach mal die Klammer ausmultiplizierst ..
und dir dann die 5 Summanden, die nun im Zähler rumstehen werden, genauer anschaust;

probiers doch mal -> ...

18.07.2012, 22:44

Berti-82

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RE: Ableitung Rentenbarwert nach i
Ich komme auf diese Formel:

$\begin{eqnarray*} f'(i)=r\frac{(iq^{n} nq^{n-1}) -(q^{2n} -q^{n} +inq^{n-1} q^{n} -inq^{n-1} }{iq^{2n} } \end{eqnarray*}$

18.07.2012, 22:53

original

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RE: Ableitung Rentenbarwert nach i
verwirrt

verwirrt

die erste Klammer im Zähler ist zwar richtig, aber die könntest du dir sparen
jedoch:
da hast du oben rechts vergessen, ne Klammer zuzumachen - so:

$\begin{eqnarray*} f'(i)=r\frac{iq^{n} nq^{n-1} -(q^{2n} -q^{n} +inq^{n-1} q^{n} -inq^{n-1}) }{i^2 \cdot q^{2n} } \end{eqnarray*}$

und nun siehst du das Minuszeichen vor dieser zweiten Klammer?

also löse im naächsten Schritt auch diese Klammer noch auf ... -> ?

so - und jetzt kannst du zusammenfassen/vereinfachen ..
versuchs ->

PS: das vergessene Quadrat beim i im Nenner habe ich oben auch noch eingebaut smile

smile

18.07.2012, 23:02

Berti-82

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RE: Ableitung Rentenbarwert nach i
Okay, dann komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} f'(i)=r\frac{-q^{2n} +q^{n} +inq^{n-1} }{i^{2} q^{2n} } \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

18.07.2012, 23:15

original

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RE: Ableitung Rentenbarwert nach i

Zitat:

Original von Berti-82
Okay, dann komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} f'(i)=r\frac{-q^{2n} +q^{n} +inq^{n-1} }{iq^{2n} } \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

verwirrt

fast richtig - siehe schon oben: im Nenner steht i^2 - nicht nur i

also zB.

$\begin{eqnarray*} f'(i)=r\cdot \frac{i\cdot n + q \cdot (1- q^{n}) }{i\cdot i\cdot q^{n+1} } \end{eqnarray*}$

.

18.07.2012, 23:20

Berti-82

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RE: Ableitung Rentenbarwert nach i
Kannst du mir deinen Umformschritt erklären? Ich kann das jetzt nicht nachvollziehen.

18.07.2012, 23:27

original

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RE: Ableitung Rentenbarwert nach i

Zitat:

Original von Berti-82
Kannst du mir deinen Umformschritt erklären? Ich kann das jetzt nicht nachvollziehen.

smile

einfach den Bruch noch gekürzt mit q^(n-1)

versuchs mal
aber wenn dir das nicht geheuer ist, dann nimm doch dein Resultat; aber vergiss nicht zu
korrigieren: im Nenner nicht i sondern i^2 - ok?

Wink

Wink

18.07.2012, 23:32

Berti-82

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RE: Ableitung Rentenbarwert nach i
Ahhhhh!!!
Danke, jetzt versteh ich's
Vielen Dank für deine Mühe!!!

Grüße Wink

Wink

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