Beweis Vollständige Induktion

18.07.2012, 15:20

Wrigley

Beweis Vollständige Induktion

Meine Frage:
Hallo,
ich kann folgende Aufgabe nicht lösen:
Beweisen Sie für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} (1-x)^{n} \leq 1-nx+ \frac{n(n-1)}{2} * x^{2} \end{eqnarray*}$ .

Normalerweise habe ich die Vollständige Induktion immer hinbekommen,weil
das Schema immer gleich war.Allerdings komme ich hier nicht zurecht.
Vielen Dank im Voraus!

Meine Ideen:
Meine Anstätze:

$\begin{eqnarray*} (1-x)^{n} + (1-x)^{n+1} \leq 1-(n+1)x + \frac{(n+1)(n}{2} * x^{2} \end{eqnarray*}$

Danach habe ich $\begin{eqnarray*} (1-x)^{n} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 1-nx+ \frac{n(n-1)}{2} * x^{2} \end{eqnarray*}$ ersetzt und versucht die Gleichung aufzulösen aber das funktioniert bei mir nicht und befürchte,dass der Lösungsansatz schon völlig falsch ist.
Habe mal i.wie an den Binomischen Lehrsatz gedacht aber damit kenne ich mich noch nicht gut aus und auf einer Lösung,die kaum zu entziffern ist,wird dieser nicht benutzt.

Edit: LaTeX korrigiert. LG Iorek

18.07.2012, 22:54

frank09

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RE: Beweis Vollständige Induktion

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (1-x)^{n} + (1-x)^{n+1} \leq ... \end{eqnarray*}$

Die linke Seite muss nach dem Induktionsschritt so aussehen:
$\begin{eqnarray*} (1-x)^{n+1}=(1-x)^n(1-x) \end{eqnarray*}$

21.07.2012, 17:41

Wrigley

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ok danke,habe jetzt 2nx²<=2nx² raus,was ne wahe Aussage ist.

Also so wie ich das gemacht habe,wäre es wahrscheinlich richtig gewesen wenn es
ne Summe=i.was gewesen wäre oder?
So habe ich die Induktion dann sonst immer gelößt.
Vielen Dank smile

21.07.2012, 23:38

frank09

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Ob's sonst richtig gewesen wäre, weiß ich nicht, weil du bei deinem falschen Ansatz
"hoch n" und "hoch n+1" addiert hast. Wenn die Exponenten für die Zahl der Summanden gestanden hätten, dann hättest du "hoch n" plus "hoch 1" rechnen müssen.

24.07.2012, 11:33

Valdas

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RE: Beweis Vollständige Induktion
Ohne Einschränkung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist die Aussage falsch!

Betrachte z.B.: $\begin{eqnarray*} x=-1\text{ und } n=3. \end{eqnarray*}$

Und für $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ ist die Aussage offensichtlich wahr was auch leicht ohne Induktion einzusehen ist.

Hast Du außerdem mal drüber nachgedacht für geeignete $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ die Behauptung aus dem binomischen Lehrsatz zu folgern.

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