Nullstelle von Polynomen ungeraden Grades

18.07.2012, 15:26

freddy90

Nullstelle von Polynomen ungeraden Grades

Meine Frage:
Behauptung:
Jedes Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine reelle Nullstelle.

Meine Ideen:
Stimmt nicht, da komplexe Polynome mit komplexen Koeffizienten keine reellen Nullstellen haben (müssen).
Stimmt es, dass komplexe Polynome mit komplexen Koeffizienten nie reelle Nullstellen haben?

18.07.2012, 15:35

Cheftheoretiker

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RE: Nullstelle von Polynomen ungeraden Grades
Hi,

Wir definieren uns eine ungerade Funktion die auch stetig ist.

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2n+1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

Nun nehmen wir ein $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

und schmeißen ein $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ in die Funktion hinein,

$\begin{eqnarray*} (a)^{2n+1}>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-a)^{2n+1}<0 \end{eqnarray*}$

Da die Funktion einen VZW durchläuft, muss eine Nullstelle vorhanden sein.
Ich hoffe die Argumentation ist so korrekt.

Viele Grüße, hangman. Wink

18.07.2012, 15:40

freddy90

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Hey,
Erst einmal danke für deine Antwort aber ich muss dich leider korrigieren,
denn meine Behauptung war, dass jedes Polynom ungeraden Grades eine reelle Nullstelle besitzt, damit sind auch komplexe Polynome eingeschlossen.

Für reelle Polynome gilt das natürlich aber meine Frage war auch eine andere und zwar ob ein komplexes Polynom mit komplexen Koeffizienten nie eine reelle Nullstelle hat.

18.07.2012, 15:56

HDtromboneXtreme

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Ja stimmt,

komplexe Nustellen treten immer als Paare auf, so weit ich es weis gibt es keine komplexen nustellen alleine....

MfG

18.07.2012, 16:18

Iorek

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RE: Nullstelle von Polynomen ungeraden Grades
Zuerst einmal solltest du genau angeben, was für Polynome du betrachtest. Was verstehst du unter "jedes" Polynom? Nur Polynome über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ? Was ist mit Polynomen über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ oder über einem beliebigen Ring $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von freddy90
Stimmt es, dass komplexe Polynome mit komplexen Koeffizienten nie reelle Nullstellen haben?

Allgemein stimmt diese Aussage nicht, $\begin{eqnarray*} f(x)=ix-i\in\mathbb C[x] \end{eqnarray*}$ hat die reelle Nullstelle $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ , allerdings gibt es komplexe Polynome beliebigen Grades, die keine reelle Nullstelle haben. Die Nullstellen treten dann auch nicht mehr notwendigerweise mit ihrem komplex konjugierten auf (für $\begin{eqnarray*} n,m\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} g(x)=(x-i)^n(x+2i)^m\in\mathbb C[x] \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} x=i \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x=-2i \end{eqnarray*}$ als Nullstelle.)

18.07.2012, 16:37

freddy90

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RE: Nullstelle von Polynomen ungeraden Grades
[quote]Original von Iorek
Zuerst einmal solltest du genau angeben, was für Polynome du betrachtest. Was verstehst du unter "jedes" Polynom? Nur Polynome über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ? Was ist mit Polynomen über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ oder über einem beliebigen Ring $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ?

Also die Behauptung stammt aus ner Altklausur und es sind wohl alle Polynome gemeint, egal aus welchem Raum, denn die Musterlösung besagt, dass die Aussage falsch ist, jedoch ohne weitere Begründung.

Meine Überlegung war jetzt nur, ob komplexe Polynome mit komplexen Koeffizienten überhaupt reelle Nullstellen haben können und das wurde ja auch schon mit einem Beispiel gezeigt.
Vielen Dank euch

Gruß Freddy

18.07.2012, 16:45

Che Netzer

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RE: Nullstelle von Polynomen ungeraden Grades
@hangman: Was wolltest du damit eigentlich sagen? Du hast nur gezeigt, dass die Beispielfunktion eine (reelle) Nullstelle hat, wofür man auch einfach 0 hätte einsetzen können. Polynome ungeraden Grades sind aber im Allgemeinen nicht ungerade Funktionen.
Oder habe ich deine Argumentation falsch verstanden?

mfg,
Ché Netzer

18.07.2012, 17:09

Mystic

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RE: Nullstelle von Polynomen ungeraden Grades

Zitat:

Original von freddy90
Meine Frage:
Behauptung:
Jedes Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine reelle Nullstelle.

Kommt drauf an, wie schon gesagt wurde, über welchem Körper die Polynome betrachtet werden... Z.B. ist $\begin{eqnarray*} x-i \in \mathbb C[x] \end{eqnarray*}$ ein Polynom von ungeradem Grad ohne reelle Nullstellen, während für Polynome $\begin{eqnarray*} f(x) \in \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ mit jeder Nullstelle $\begin{eqnarray*} z=u+iv (v \ne 0) \end{eqnarray*}$ automatisch auch $\begin{eqnarray*} \bar z = u-iv \end{eqnarray*}$ Nullstelle ist, d.h., nichtreelle Nulstelle treten dann prinzipiell immer paarweise auf... Hat f(x) dann einen ungeraden Grad, so muss es somit auch reelle Nullstellen besitzen...

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