Grenzwert einer Folge

18.07.2012, 15:49

joschka

Grenzwert einer Folge

Meine Frage:
Zu berechnen gilt der Grenzwert
$\begin{eqnarray*} lim_{x \to 0}\left(x^2+e^{x^2}\right)^{\frac{1}{x^2}} \end{eqnarray*}$

Die Loesung lautet $\begin{eqnarray*} e^2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Ansaetze sind
1.
$\begin{eqnarray*} ((x^2+ e^{x^2})^x)^{-2} \end{eqnarray*}$
und das gleiche mit Quadratischer Ergänzung (ich glaub das hilft mir nicht)
1.
$\begin{eqnarray*} \left(((x+e^x)^2 - 2xe^x)^x\right)^{-2} \end{eqnarray*}$
3.
Ich vermute dass ich irgendwie hier hin muss:
$\begin{eqnarray*} e = \lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x \end{eqnarray*}$ Die Frage ist nur wie ...

18.07.2012, 16:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von joschka
$\begin{eqnarray*} ((x^2+ e^{x^2})^x)^{-2} \end{eqnarray*}$

Was bitte hat das mit dem Originalterm zu tun? Zur Erinnerung die Potenzgesetze: Es ist

$\begin{eqnarray*} (a^b)^c = a^{b\cdot c} \end{eqnarray*}$ ,

also auch

$\begin{eqnarray*} ((x^2+ e^{x^2})^x)^{-2} = (x^2+ e^{x^2})^{-2x} \neq (x^2+ e^{x^2})^{\frac{1}{x^2}} \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Dieselbe Anmerkung gilt übrigens für

$\begin{eqnarray*} (e^x)^2 = e^{2x} \neq e^{x^2} \end{eqnarray*}$ .

Tatsächlich geht es hier (mit Landau-Symbol $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ geschrieben) um

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \left( x^2+e^{x^2} \right)^{\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to 0} \left( 1+2x^2+O(x^4) \right)^{\frac{1}{x^2}} = \lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{2}{n}+O\left( \frac{1}{n^2} \right) \right)^n = e^2 \end{eqnarray*}$ .

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