Schwerpunktberechnung eines Zylinders

18.07.2012, 17:21

Zeberuus

Schwerpunktberechnung eines Zylinders

Meine Frage:
Ich soll den Schwerpunkt des Zylinders
$\begin{eqnarray*} \Omega={x(r,\phi,z): r?1,\phi\in[0,2\pi],z\in[0,1]} \end{eqnarray*}$ , der in den Zylinderkoordinaten $\begin{eqnarray*} (r,\phi,z) \end{eqnarray*}$ beschrieben ist und die höhenabhängige Dichte $\begin{eqnarray*} \rho(x)=2-z \end{eqnarray*}$ hat, berechnen.

Meine Ideen:
Ich weiß, dass ich diese Aufgabe über Mehrfachintegrale lösen muss. Auch sind mir die Grenzen bekannt $\begin{eqnarray*} (r[0,1],\phi[0,2\pi],z[0,1]) \end{eqnarray*}$
ich weiß aber nicht wie genau ich so eine Aufgabe lösen muss. Kann mir einer vielleicht dabei behilflich sein?

MbG Zeb

18.07.2012, 21:16

Dopap

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RE: Schwerpunktberechnung eines Zylinders

Zitat:

Original von Zeberuus
Ich weiß, dass ich diese Aufgabe über Mehrfachintegrale lösen muss. Auch sind mir die Grenzen bekannt $\begin{eqnarray*} (r[0,1],\phi[0,2\pi],z[0,1]) \end{eqnarray*}$

was heisst müssen? Bist du der Meinung oder musst du das per Vorgabe so machen.

Wir probieren es mal auf die Einfache. das Volumenelement ist $\begin{eqnarray*} \dd V=\pi 1^2 \dd z \end{eqnarray*}$

Das massenelement ist $\begin{eqnarray*} \dd m=\dd V \rho(z) \end{eqnarray*}$ demnach

$\begin{eqnarray*} m=\int_0^1 \dd m = \int_0^1 \pi 1^2 (2-z) \dd z = \int_0^1 \pi (2-z) \dd z \end{eqnarray*}$

Das Massendrehmoment bezüglich der x-Achse:

$\begin{eqnarray*} J_x= \int_0^1 \pi (2-z)z \dd z \end{eqnarray*}$

Der Schwerpunkt : $\begin{eqnarray*} S_z= \frac {J_x}{m} \end{eqnarray*}$

Die beiden anderen Koordinaten sind Null. Das geht aber nur deshalb, weil die Dichte nur eine Funktion der Höhe ist. Bitte mal ausrechnen.

19.07.2012, 09:07

Zeberuus

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Vielen Dank für deine Antwort :-)

19.07.2012, 22:12

Dopap

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gern geschehen, geht es noch weiter oder bist du schon zufrieden?

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