Parameter c einer Parabel bestimmen

18.07.2012, 21:30

midgard87

Parameter c einer Parabel bestimmen

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie den Parameter c so, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} 2x^2 + 4x = c \end{eqnarray*}$ genau eine reelle Lösung besitzt.

Mein Problem ist folgendes: wie gehe ich an so eine Aufgabe ran? Was für Fragen muss ich mir stellen um auf den richtigen Lösungsweg zu kommen?

Danke für eure Hilfe

18.07.2012, 21:34

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Parameter c einer Parabel bestimmen
Hi,

$\begin{eqnarray*} 2x^2+4x=c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x^2+4x-c=0 \end{eqnarray*}$

Nun mit der pq-Formel ans Werk stell du es am besten mal auf. Augenzwinkern

18.07.2012, 21:43

midgard87

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Gleichung erst einmal in die Normalform gebracht, damit ich die pq-Formel anwenden kann:

$\begin{eqnarray*} x^2 +2x -c/2 \end{eqnarray*}$

Dann in die pq-Formel einsetzen:

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = -1 \mp \sqrt{1+\frac{1}{2}c } \end{eqnarray*}$

Jetzt sollte ich alles auflösen. Da aber nicht die Nullstellen direkt gesucht werden, sondern die doppelte Nullstelle bei einem bestimmten Wert von c, muss ich doch eigentlich nach c auflösen? Das sieht aber sehr kompliziert aus und gibt eine komische Lösung.

Was für Ansätze gibt es noch?

18.07.2012, 21:46

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wann besitzt denn

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = -1 \mp \sqrt{1+\frac{1}{2}c } \end{eqnarray*}$

genau eine Lösung? Du könntest ja mal den Ausdruck unter der Wurzel auf einen Hauptnenner bringen, vielleicht wird es dann deutlicher. Augenzwinkern

18.07.2012, 21:48

midgard87

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt noch was ein: die Diskriminante macht doch eine Aussage, ob f(x) eine, keine oder zwei reelle Lösungen hat.

Ich suche ein Funktion, bei welcher der Parameter c einen bestimmten Wert annimmt, damit die Funktion eine reelle Lösung hat, d.h. Diskriminante = 0.

Einfach $\begin{eqnarray*} 1 + 0,5c \end{eqnarray*}$ nach c auflösen.

$\begin{eqnarray*} 1 + 0,5c = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,5c = -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c = -2 \end{eqnarray*}$

18.07.2012, 21:49

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt!

Viele Grüße, hangman. Wink

18.07.2012, 21:53

midgard87

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfestellung.

Ich habe aber noch eine Frage:

War das hier die elegante Lösung oder einfach eine pragmatische Lösung. Solche Aufgaben bringen mich immer ein wenig aus dem Konzept.

18.07.2012, 21:55

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt bestimmt noch eine geschicktere Lösung.
Für gewöhnlich kann man aber so vorgehen. Augenzwinkern

Viele Grüße, hangman. Wink

19.07.2012, 00:17

Hunter Sweetwater

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Parameter c einer Parabel bestimmen
Die Aufgabe wurde von euch beiden zwar richtig gelöst, aber eine ganz konkrete Antwort auf deine eigentlich sehr schlaue Frage:
"Was für Fragen muss ich mir stellen um auf den richtigen Lösungsweg zu kommen?"
habe ich noch nicht gelesen. Daher möchte ich darauf eingehen.

Die erste Frage, die du dir beim Anblick einer Gleichung immer stellen solltest, ist die nach ihrer grundsätzlichen Einordnung. Um welche Art von Gleichung handelt es sich?
Aus der Antwort auf diese Frage ergibt sich in der Schulmathematik eigentlich auch immer die Antwort auf das anschließende Vorgehen.

In diesem Fall handelt es sich um eine quadratische Funktion, oder allgemeiner formuliert um eine ganzrationale Funktion 2. Grades.
Diese Gleichungen löst man immer, in dem man (durch Umstellen) auf einer der Seiten eine Null erzeugt und anschließend die Nullstellen des Terms auf der anderen Seite bestimmt.
Besitzt die daraus hervorgehende Gleichung wie in diesem Fall einen Parameter, so muss man Überlegungen anstellen, welche Auswirkung unterschiedliche Werte des Parameters auf die Anzahl bzw Lösbarkeit der Gleichung haben.

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} =-1 \pm \sqrt {1+ \tfrac 1 2 c} \end{eqnarray*}$

Der Definitionsbereich dieser Gleichung wird in erster Linie durch den Wurzelterm bestimmt. Solange der Radikand größer oder gleich Null ist existieren Lösungen. Daraus ergibt sich folgende kleine Nebenrechnug:

$\begin{eqnarray*} \begin{aligned} 1+ \frac 1 2 \cdot c& \geq 0 \\c&\geq -2 \end{aligned} \end{eqnarray*}$

Die Gleichung besitzt also:

keine Lösung für c < -2
genau eine Lösung für c = -2
genau 2 Lösungen für c > -2

19.07.2012, 21:13

midgard87

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hunter,

danke für deinen Post.

Ich habe in der Mathematik nicht das Problem, dass ich die Mathematik nicht verstehe, sondern dass es mir schwerer fällt die Mathematik anzuwenden. Das liegt unter anderem daran, dass ich in der Schule in der Regel im Matheunterricht mit anderen Dingen beschäftigt war und zweitens daran, dass ich nie viel gelernt habe und dadurch weniger Übung und auch Sicherheit habe wie die meisten anderen mit Abitur.

Nun zu deinem Post:
Ich denke, dass erste das man bei einer Aufgabe mit einem Parameter machen sollte, ist natürlich zu überlegen was das für eine Funktion/ Problem ist. Sehr guter Ansatz Big Laugh

Dann würde ich versuchen herauszufinden wo der Parameter steht und was diese Stelle für Auswirkungen auf f(x) hat.
So wie ich das sehe, kann man die Werte eines Paramers nur bestimmen, indem man die Gleichung auflöst?
Eigentlich so wie es hangman mir gemacht hat. Eine Differenzierung der möglichen Ergebnisse wäre durch Umformung möglich, also so wie du es gemacht hast.

Warum setzt man Parameter (klassisch "t") in Gleichungen ein? Diese Frage stelle ich mir auch sehr oft. Geht es nur darum, um zu sehen, wie sich die Funktion verändert, wenn ich an bestimmten Stellen Parameter einfüge und in diesen unterschiedliche Werte einsetze? Wo werden Parameter in der Realität benutzt?

Ich weiss viele Fragen, aber bei mir findet Mathematik nicht nur abends auf dem Arbeitsblatt sondern auch tagsüber im Kopf statt Big Laugh

Viele Grüße

19.07.2012, 21:39

Mathe-Maus

Auf diesen Beitrag antworten »

Parameter hast Du z.B. in jeder physikalischen Formel. Sie heißen dort nicht zwingend "t", sondern können viele andere Formelzeichen haben.

Etwas ganz simples: z.B. die Federspannkraft $\begin{eqnarray*} F_E=D\cdot s \end{eqnarray*}$

Mit einer Feder soll eine bestimmte Kraft auf einen Gegenstand wirken, F ist also vorgegeben.
Du kannst die Federkonstante D oder den Weg s als Parameter nehmen.

Nun kannst Du mit den beiden Parametern experimentieren, rechnen oder in Kurvenblättern nachschauen, welche Konstante D bei vorgegebenen Weg s welche Kraft "erzeugt".
Wenn die Einbaumaße fest vorgegeben sind (s=Festwert), so muss der entsprechende Parameter D gefunden werden .. usw. usf.

Du kannst Dir fast jede physikaliche Formel nehmen und immer wirst Du auf ähnliche Abhängigkeiten stoßen.

LG Mathe-Maus

20.07.2012, 00:39

Hunter Sweetwater

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Erklärungsansatz von Mathe-Maus aus physikalischer Sicht ist soweit richtig, aber ich möchte noch ein wenig aus mathematischer Sicht nachschieben.
Betrachten wir mal deine Gleichung von oben:

$\begin{eqnarray*} 2x^2+4x=c \end{eqnarray*}$

In dieser Gleichung kommen 2 Unbekannte ( s und x) vor.
Die Aufgabenstellung lautete:

Zitat:

Bestimmen Sie den Parameter c so, dass die Gleichung genau eine reelle Lösung besitzt.

Du sollst also die Gleichung in Abhängigkeit vom Parameter c lösen. Aber was heist eigentlich lösen in diesem Zusammenhang?
Sollst du die Gleichung nach x oder nach c auflösen?

Will man eine Gleichung lösen, so muss man diejenigen Werte bestimmen, die man für die Variable einsetzen kann, damit die Gleichung eine wahre Aussage darstellt. Hierzu stellt man für gewöhnlich die Gleichung nach einer, oder auch nach mehreren Variablen um. Die Parameter werden dagegen wie Zahlen behandelt. Genau so als wären sie eigentlich bekannt, man wollte aber aktuell den Wert noch nicht einsetzen.
Ohne die Information dass c ein Parameter ist, hätte man die Gleichung also gar nicht eindeutig lösen können.

Die Unterscheidung zwischen Parametern und Variablen erfolgt häufig auch schon durch die Art der Funktionsbezeichnung.
In den folgenden Beispielen ist c die Variable, t der Parameter und f der Name der Funktion.

$\begin{eqnarray*} f_t(c)= c^2+t\\f_t: c \mapsto c^2+t \end{eqnarray*}$

Eine wichtige Bedeutung erlangt die Unterscheidung zwischen Parametern und Variablen auch beim Differenzieren und Integrieren.

LG Hunter

PS: Parameter müssen aus mathematischer Sicht nicht immer eine realitätsnahe Bedeutung haben. Oftmals verwendet man Parameter auch einfach als eine Art Platzhalter, wenn man Eigenschaften von ähnlichen Funktionen untersuchen will.
Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede haben zB. Funktionen dieses Typs:
$\begin{eqnarray*} g(x)=x^2+2; \; h(x)=x^2-3; \; i(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
Die Funktionen unterscheiden sich nur im absoluten Glied man kann also folgende Kurvenschar stellvertretend untersuchen:
$\begin{eqnarray*} f_t(x)=x^2+t \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Parameter c einer Parabel bestimmen

Verwandte Themen