Rekonstruktionsaufgaben: Aufgabe 3

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MatheMan01 Auf diesen Beitrag antworten »
Rekonstruktionsaufgaben: Aufgabe 3
Hallo Forum,
Ich habe hier 1 Aufgab,die ich überhaupt nicht verstehe.

Aufgabe:

Ermitteln Sie jeweils die Funktionsgleichungen derjenigen ganzrationalen Funktion vierten Grads,

c) deren Graph mit der x-Achse die Punkte S(-2 | 0), O (0 |0) und E (2 | 0) sowie den Mittelpunkt M der Strecke [OE] gemeinsam hat und durch den Punkt P(-1|-3) verläuft.

Bis jetzt habe ich die allgemeine Form hingeschrieben.

f(x)= ax^4 + bx^3+cx^2+dx+e

Wie rechne ich weiter ?
MfG MatheMan01
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor du diese Aufgabe löst, solltest du die andere Aufgabe bearbeiten. Danach kann ich dir auch gerne hier weiterhelfen.
MatheMan01 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann ich da anfangen ? Wieder die algemeine Form ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Die allgemeine Form hast du ja bereits hingeschrieben.
Wir haben 5 Variablen und brauchen also 5 Bedingungen.

Vorschläge für diese? Augenzwinkern
MatheMan01 Auf diesen Beitrag antworten »

habe leider keinen plan ? traurig traurig
Kannst du es mir wieder komplett hinschreiben dann kann ich es glaub ich am besten verstehen Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja. Komplett hingeschrieben habe ich es dir bei der letzten Aufgabe ja nicht und dies tuen wir auch hier nicht. Augenzwinkern

Wir müssen zu erst wieder die Bedingungen aufstellen wie bei der letzen Aufgabe. Dies ist hier sehr viel einfacher als bei der anderen, da wir die meisten Geschenkt bekommen.

S(-2 | 0),

O (0 |0)

E (2 | 0)

Mittelpunkt M der Strecke [OE]

P(-1|-3)

Das sind unsere 5 Angaben. Die erste gebe ich dir mal vor.

S(-2|0) wird zu:

f(-2)=0

kannst du nun mindestens 3 weitere aufstellen? Die Angabe mit dem Mittelpunkt ist hier die schwerste, aber auch kein Beinbruch. Augenzwinkern
 
 
MatheMan01 Auf diesen Beitrag antworten »

f(0) = 0
f(2)=0
Mittelpunkt ist M(1|0)
und f(-1)= -3
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles korrekt. Freude

War doch gar nicht so schwer. Augenzwinkern

Nun haben wir:

I. f(-2)=0

II. f(0)=0

III. f(2)=0

IV. f(1)=0

V. f(-1)=-3

Nun wieder in Gleichungen übersetzen und das Gleichungssystem lösen. Letzteres kannst du ja. Hast du ja bereits gerade bewiesen.
smile
MatheMan01 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist aber diesmal keine achsensymmetrische gleichung oder ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Sonst hätten wir wieder Variablen von vornerein ausschließen können.

Die Angabe ob es Achsensymmetrisch oder Punktsymmetrisch ist steht auch im Text, wenn eine Symmetrie vorhanden ist.

Hier steht nichts im Text also ist sie wohl nicht Symmetrisch. Augenzwinkern
MatheMan01 Auf diesen Beitrag antworten »

ok super , ich hätte aber noch eine frage zu meiner ersten aufgabe.Warum kann ich dort die verschiebungsparameter weglassen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst diese Aufgabe hier?

Rekonstruktionsaufgaben: Aufgabe 1

Weil dort von Achsensymmetrie zur y-Achse die Rede ist.

smile
MatheMan01 Auf diesen Beitrag antworten »

ein Graph kann doch auch achsensymmetrisch sein wenn er verschoben ist oder?
Wie gehe ich in der driiten aufgabe weiter ? Ich verstehe das nicht Hammer Hammer Gott Gott
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist jedoch Achsensymmetrie zur y-Achse gemeint. Wenn der Funktionsgraph nun meinetwegen nach links verschoben wäre, so wäre es ja keine Symmetrie mehr. Verstehst du wie ich das meine?

Viele Funktionen sind Symmetrisch auch wenn man dies auf den ersten Blick nicht sieht. Oft liegt eine Symmetrie zum Wendepunkt vor, jedoch ist Punktsymmetrie und Achsensymmetrie ein wenig spezieller.

Wie du weitergehst:

Übersetze zu erst die Bedingungen in Gleichungen.

Löse danach das entstandene Gleichungssystem.

Ansonsten siehe dir noch einmal Aufgabe 2 an. Mache es wie dort.
Wenn es dann noch fragen gibt helfe ich gerne weiter.

smile
MatheMan01 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine nicht die Verschiebung nach links und rechts, ich meine die Verschiebung nach oben und unten in der Aufgabe 1.
Soll ich jetzt 5 gleichungen machen wo ich die ergebnisse einsetze ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Verschiebung nach oben oder unten ist in Ordnung.

Zitat:
Soll ich jetzt 5 gleichungen machen wo ich die ergebnisse einsetze ?


Korrekt.
MatheMan01 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt stehen bei mir die 5 gleichungen und jetzt ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du deine 5 Gleichungen mal zur Korrektur posten?

Jetzt wieder Subtraktion/Additionsverfahren anwenden.
MatheMan01 Auf diesen Beitrag antworten »

f(-2) = 16a-8b+4c-2d=0
f(0)=e=0
f(2)=16a+8b+4c+2d=0
f(1)=a+b+c+d=0
f(-1)=a-b+c-d=-3
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Scheint alles richtig zu sein.

Wo hängst du den?
MatheMan01 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe einfach nicht wie es jetzt weitergehen soll ?
Keine Ahnung Prost Prost traurig traurig traurig traurig traurig traurig traurig
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir müssen über die Anwendung der Subtraktionsverfahren immer zusehen, das wir durch das Subtrahieren zweier Gleichungen eine Variable entfernen.
Zu erst entfernen wir das d

I. f(-2) = 16a-8b+4c-2d=0
II. f(0)=e=0
III. f(2)=16a+8b+4c+2d=0
IV. f(1)=a+b+c+d=0
V. f(-1)=a-b+c-d=-3

Dazu empfehle ich die I + II = VI zu rechnen. Dabei fällt das d raus.
Nun müssen wir noch eine zweite Gleichung VII ohne d erzeugen. Dazu rechnen wir
IV+V=VII

Nun haben wir 2 gleichungen nur noch mit a,b,c und können weiter fort fahren.
Jetzt eliminieren wir das c danach das b usw.
MatheMan01 Auf diesen Beitrag antworten »

soll ich dann hinschreibem 16a-8b+4c-2d+e ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nicht notwendig. Wir wissen ja bereits, dass e=0 ist. Diese schreibweise würde nur verwirren.
MatheMan01 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir bitte den Lösungsweg hinschreiben?Kommt für a=-0,5 raus ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

a=0,5

muss rauskommen. Du hast irgendwo einen Vorzeichenfehler gemacht.

Du scheinst, aber auf dem richtigem Weg zu sein.
MatheMan01 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir bitte den Rechenweg hinschreiben ? Gott Gott Gott Gott Gott Gott
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Den kompletten Rechenweg hinzuschreiben wäre zu viel Arbeit um die Uhrzeit. Sry.
Wen du deinen hinschreibst, kann ich auf Fehler suche gehen.
MatheMan01 Auf diesen Beitrag antworten »

also :

ich habe a+b+c+d = 0 mit a-b+c-d=3 addiert --> 2a+2c=3

dann habe ich 16a-8b+4c-2d = 0 und 16a+8b+4c+2d=0 addiert --> 32a+8c=0
dann nach c auflösen c=-4*0,5=-2

dann in 2a+2c=3 eingesetzt --> a=-0,5
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie hast du eingesetzt?

Du erhälst c=-4a

Zitat:
a-b+c-d=3


Es muss gleich -3 sein.

a-b+c-d=-3

Siehe die Bedingungen im Aufgaben Text und die von dir aufgestellten.
Hunter Sweetwater Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigt, wenn ich mich an dieser Stelle einklinke. Der dargestellte Rechenweg ist zwar richtig, übersteigt aber in seiner Komplexität das übliche Maß und entspricht mit Sicherheit nicht der Intension des Aufgabenstellers.
Daher will ich mal einen sehr viel kürzeren Lösungsansatz präsentieren.

Jedes Polynom 4. Grades Lässt sich als Linearkombination seiner Nullstellen darstellen. Der Parameter a entspricht dabei dem Streckungsfaktor.



Da die meisten der gegebenen Punkte (S,O,E,M) Nullstellen der gesuchten Funktion sind, bietet sich dieser Lösungsansatz geradezu an.
Setzt man nun für jeweils die Werte 0,1,2,-2 ein, so erhält man folgende Gleichung in der nur noch der Parameter a bestimmt werden muss.



Jetzt stellt man also nach a um und erhält:



Nun braucht man nur noch den letzten noch nicht verwendeten Punkt P(-1/-3) für x und y einsetzen und erhält:
.

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also:


Hoffentlich habe ich mich auf die Schnelle nicht verrechnet. smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Netter Lösungsweg. Jedoch denke ich schon, dass die Aufgabe über das Subtraktions bzw. Additionsverfahren gelöst werden soll. Ich denke der Fragesteller geht in die 11. Klasse.

Bisher habe ich diese Aufgaben (auch in der Schule) immer auf diesem Weg lösen müssen. Bzw. haben wir andere alternativen nicht kennen gelernt bzw. besprochen.

Wink
Hunter Sweetwater Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich lässt sich ein solches Gleichungssystem auch mit dem Additionsverfahren lösen, aber für gewöhnlich verwendet man bereits ab 4 spätestens aber ab 5 Gleichungen das Gaußverfahren zur schriftlichen Lösung oder einen Taschenrechner.

Das von mir verwendete Verfahren der Linearfaktorzerlegung sollte einem Schüler übrigens nicht unbekannt sein, da es die mathematische Grundlage für die Nullstellenberechnung aller höhergradigen Polynome ist.
Zumindest bei uns werden diese Verfahren in der 9. spätestens aber in der 10. Klasse behandelt und die Kenntnis um die Linearfaktorzerlegung war auch schon des öfteren Bestandteil der Abiturprüfung.

Nichts für ungut. Natürlich ist dein Lösungsverfahren auch richtig und würde zum Ziel führen. Jedoch ist der Zeitaufwand und auch das darin enthaltene Fehlerpotential extrem hoch.

LG
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann beide ich dich mal um die Schulform in deinem Bundesland.

Ich glaube bei mir im Mathe-LK könnte mir niemand sagen, dass man eine Funktion über seine Nullstellen dar stellen kann.
Ich weiß es eigentlich auch nur, weil ich mich in meiner Freizeit relativ intensiv mit Mathe beschäftige.
Explizit wurde das nie im Unterricht besprochen. Erwähnt ja, aber nur nebensächlich.

Unsere gängige Methode um sowas zu lösen ist das Subtraktions/Additionsverfahren.
Gaußverfahren, welches ich im Unterricht auch noch nicht hatte, ist ja im Prinzip nichts anderes.

Ich finde deine Lösungsmethode aber auch weit besser.
Erstens weil es über mein Verfahren wohl ne komplette DIN A4 Seite in anspruch nimmt und deins, nun ja ist ein 5 Zeiler.

Da hätte ich mal eine Frage an dich. Lohnt sich dieses Verfahren nur wen ein großteil der Bedingungen aus Nullstellen besteht, oder auch schon eher? Wie würde man mit dem Streckungsfaktor verfahren, wenn wir in diesem Fall nur 3 und nicht 4 linear Faktoren hätten?
Lohnt es sich dann überhaupt noch?

Ich hoffe das wird hier jetzt nicht zu OT, aber die Ursprungs Frage ist eigentlich auch schon beantwortet.
[email protected] Auf diesen Beitrag antworten »

Also beneiden musst du uns nicht. In den letzten Jahren hat das Niveau der Ausbildung an den Schulen immer mehr abgenommen und seit der flächendeckenden Einführung des TI-nspire CAS ist aus meiner Sicht der Untergang des Bildungsstandorts Deutschland beschlossene Sache.
Mir ist es dieses Jahr zum ersten mal untergekommen, dass eine Lehrerin in der 9. Klasse nach Einführung der quadratischen Funktionen und der Nullstellenberechnung, die Lösungsformel nicht einmal erwähnt hat und stattdessen alles nur über den Taschenrechner macht. Auch in höheren Klassen werden Gleichungssysteme und Potenzgleichungen nur noch mit dem Taschenrechner gelöst, wodurch die Schüler kaum noch zum händischen Rechnen befähigt sind.

Normalerweise solltet in allen Bundesländern in der 9. Klasse mit Aufgaben dieses Typs begonnen werden.

Bsp1:
Eine quadratische Funktion f der Form besitzt die Nullstellen und . Berechnen Sie die Parameter p und q!

Lösung:

Der Streckungsfaktor a entspricht immer dem Koeffizienten der höchsten Potenz. Da in diesem Fall die gesuchte Funktion eine verschobene Normalparabel ist, kann man den Faktor a=1 bei der Berechnung auch einfach weglassen.


Bsp2:
Eine quadratische Funktion f der Form verläuft durch die Punkte A(-2;2.5), B(1;-2) und N(3;0). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung durch Rechnung!

Lösung1 (nur als abschreckendes Beispiel):

Von dieser Funktion wissen wir, dass sie mindestens eine Nullstelle besitzt. Ob noch eine weitere Nullstelle existiert ist unklar. Daher kann man nicht einfach wie oben den Ansatz wählen.
An dieser Stelle taucht ein scheinbarer Widerspruch zu einer von mir oben getroffenen Aussage auf, dass sich jede ganzrationale Funktion als Linearfaktorzerlegung darstellen lässt. Diese Aussage ist zwar richtig, gilt aber nur im Bereich der Komplexen Zahlen und übersteigt daher das normale Schulniveau.
Um dennoch im Bereich der Reellen Zahlen mit der Linearfaktorzerlegung arbeiten zu können, verwende ich hier einen kleinen Trick. Ich ersetze den 2. Linearfaktor einfach durch ein Polynom, dessen grad der der Restfunktion entspricht.
Gesucht war ja eine quadratische Funktion, einen Linearfaktor haben wir, also muss das Restpolynom eine lineare Funktion sein. Somit ergibt sich folgendes:



Ich erhalte also einen Prototypen der gesuchten Funktion, der die Parameter m und n enthält. Diese kann man jetzt durch einsetzen der beiden anderen Punkte A und B über ein Gleichungssystem lösen. Anschließend müsste man dann m und n wieder in den Prototypen einsetzen um die eigentlich gesuchten Parameter a und b zu erhalten.
Ich hoffe du erkennst, dass dieses Vorgehen absolut ineffektiv ist und mehr Arbeit verursacht, als dein übliches Vorgehen über ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten.

Lösung2 (bevorzugte Strategie):




Löst man das Gleichungssystem, so erhält man die Ergebnisse a=1/2, b=-1 und c=-3/2. Die Funktion lautet also:



Mit allgemeinen Aussagen sollte man hier vorsichtig sein, aber prinzipiell würde ich sagen, dass die Linearfaktorzerlegung nur dann sinnvoll ist, wenn wenige Nullstelle fehlen oder das Polynom einen sehr hohen Grad hat und das Gleichungssystem daher sehr komplex würde.


Bsp3:
Gesucht sei die Gleichung einer Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S(3;2).

Lösung:
Sowas löst man über die Scheitelpunktform am schnellsten.

Da es sich um eine Normalparabel handelt muss a=1 sein und man erhält die Funktionsgleichung:


Ich will einmal die Scheitelpunktform geringfügig umschreiben so das du hoffentlich die Parallele zur Linearfaktorzerlegung erkennst.



Ignorierte man einfach mal die +2 am Ende der Funktion, so würde die Funktion eine doppelte Nullstelle bei x=3 besitzen.
Die +2 sorgt dann allerdings dafür, dass der gesamte Graph der Funktion um 2 Einheiten nach oben verschoben wird, wodurch die Nullstelle natürlich verschwindet.
Mit dem Wissen aus der 11. Klasse weißt du natürlich, dass ein Scheitelpunkt immer auch ein lokaler Extrempunkt ist.

Man kann daher aus diesem Beispiel die Vermutung ableiten, dass jede doppelte Nullstelle einer ganzrationalen Funktion gleichzeitig ein Extrempunkt ist.

Und diese Vermuting ist richtig! Eine dreifache Nullstelle ist bei ganzrationalen Funktionen übrigens immer auch ein Sattelpunkt.
Hier mal eine kleine Aufgabe, bei der man dieses Wissen ausnutzen kann.

Bsp4:
Der Graph einer Funktion 3. Grades berührt die x-Achse an der Stelle x=3 und schneidet sie im Koordinatenursprung. Des weiteren liege der Punkt P(1;8) auf dem Graphen der Funktion. Wie lautet die Funktionsgleichung?

Lösung:
Ein Berührpunkt mit der x-Achse muss immer auch Extrempunkt und Nullstelle sein. Aus dieser Erkenntnis kann man ableiten, dass bei x=3 eine doppelte Nullstelle vorliegen muss und wir somit zwei der drei Linearfaktoren kennen.
Den dritten Linearfaktor erhält man über den Schnittpunkt mit dem Koordinatenursprung, was ja auch nichts anderes als eine Nullstelle ist.



Den Faktor a bekommt man dann durch Einsetzen des Punktes P heraus.





Dieser Beitrag ist lang genug geworden. Ich ziehe an dieser Stelle mal einen Schlussstrich, auch wenn es noch so einiges zu sagen gäbe. Falls du noch Fragen hast, bin ich aber gerne bereit dir zu antworten.

LG Hunter
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Mühe. Respekt

Zitat:
In den letzten Jahren hat das Niveau der Ausbildung an den Schulen immer mehr abgenommen und seit der flächendeckenden Einführung des TI-nspire CAS ist aus meiner Sicht der Untergang des Bildungsstandorts Deutschland beschlossene Sache.


Einen programmierbaren Taschenrechner bzw. Hightech Geräte, die in der Lage sind Gleichungen zu lösen dürfen wir (Gott sei Dank) nicht benutzen. Ich glaube das ist aber an den meisten Schulen so.

Und Abitur bekommt man meiner Meinung nach zur Zeit in Deutschland geschenkt.

Eigentlich hätte der erste Teil von Beispiel 2 vollkommen gereicht um meine Frage zu beantworten. Ich denke jedoch, dass diese auführliche Beschreibung noch dem ein oder anderem helfen wird.

Wink
Hunter Sweetwater Auf diesen Beitrag antworten »

Beispiel 2 hätte zwar ausgereicht, aber ich wollte unbedingt zu Beispiel 4 kommen und das kann man ohne eine gewisse Einleitung leider nicht verstehen. Ich bin davon ausgegangen, dass im Unterricht für gewöhnlich nicht auf die Bedeutung der Vielfachheit von Nullstellen eingegangen wird. Dabei ist das ein sehr interessanter Aspekt ist der Analysis. smile
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