Differenzierbarkeit und stetig Differenzierbarkeit |
| 19.07.2012, 00:47 | freddy90 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Differenzierbarkeit und stetig Differenzierbarkeit Hey, so wie es aussieht hatte bis heute eine falsche Definition von Differenzierbarkeit im Kopf, da ich bisher immer davon ausging, dass stetige Funktionen nach der Differentiation wieder in jedem Punkt stetig sein müssen, um differenzierbar zu sein. Jetzt habe ich mir jedoch den Differenzenquotienten der Funktion angeschaut und bemerkt dass (wenn man die Definitionslücke für x=0 mit 0 füllt) sie im Punkt 0 diff'bar ist, jedoch ihre Ableitung unstetig ist, da sie im Punkt x=0 "springt". Meine Ideen: 1. Meine Frage wäre an der Stelle erst einmal wie es überhaupt sein kann, dass die Ableitung einer (auf ihrem Definitionsbereich) diff'baren Funktion plötzlich unstetig ist. Folgt aus der Unstetigkeit der Ableitung einer Funktion f in einem Punkt nicht, dass f in diesem Punkt nicht diff'bar ist? 2. Folgt aus stetig Differenzierbarkeit auch Differenzierbarkeit und gibt es dafür einen Satz (eventuell kennt ja jemand einen Beweis) oder ist das ein Axiom, da es ja recht einleuchtend klingt? |
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| 19.07.2012, 05:38 | Rmn | Auf diesen Beitrag antworten » |
1) Wenn eine Funktion differenzierbar ist, so ist sie auch stetig. Das sagt aber nichts darüber aus, ob ihre Ableitung stetig oder differenzierbar ist. Ihre Ableitung kann stetig oder unstetig sein, differenzierbar oder nicht differenzierbar. 2) Eine Funktion heißt stetig differenzierbar, wenn sie differenzierbar ist und ihre Ableitung stetig ist. Dabei muss ihre Ableitung selbst nicht unbeding auch differenzierbar sein. |
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| 19.07.2012, 12:02 | freddy90 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke 
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