Haupachsentransformation 3D (linearer Anteil)

19.07.2012, 15:16	Master1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Haupachsentransformation 3D (linearer Anteil) Hi, ich soll beschreiben welche Fläche die Funktion beschreibt: $\begin{eqnarray} 2x_1^2+2x_2^2-x_3^2-2x_1x_2+4x_1x_3+4x_2x_3-6(x_1+x_2+x_3)+9=0 \qquad x \in \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ Naja das klingt für mich doch mal nach Hauptachsentransformation: Matrixschreibweise: $\begin{eqnarray} x^T\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}x +Bx+9 \end{eqnarray}$ Erste Frage direkt hier zu beginn: Was ist denn die Matrix B? $\begin{eqnarray} B= \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix} ? \end{eqnarray}$ So weiter geht mit Eigenwertberechnung da komm ich dann auf dieses Polynom: $\begin{eqnarray} \lambda^3 -3 \lambda^2 -9 \lambda +27 = 0 \end{eqnarray}$ Durch Raten ist eine Nullstelle $\begin{eqnarray} \lambda_1=3 \end{eqnarray}$ . Polynomdivison ergibt: $\begin{eqnarray} \lambda_2=3 \qquad \lambda_3=-3 \end{eqnarray}$ Die Diagonalmatrix zur Funktion lautet also: $\begin{eqnarray} D= \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So um nun auf die Transformationsmatrizen zu kommen muss ich ja die Matrizen der Eigenvektoren aufstellen, öhm da hängst gerade also ich will doch folgendes Gleichungssystem lösen oder? (Für EW=3) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -4 \end{pmatrix}\vec v = \vec 0 \end{eqnarray}$ Irgendwie ist das bei mir nicht lösbar...hab wohl vergessen wie das mit den EV'en geht.
19.07.2012, 15:49	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Haupachsentransformation 3D (linearer Anteil) hi, B "beschreibt" den lienaren term in der gleichung. Es ist aber $\begin{eqnarray} q(x)= x^T \,A\, x + \textcolor{red}{2}\,B^{\textcolor{red}{T}}\,x + c \end{eqnarray}$ . Von daher ist $\begin{eqnarray} B= \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Warum ist das LGS denn nicht lösbar? ich find es ist sehr gut lösbar (jedes LGS mit lösungsvektor $\begin{eqnarray} o \end{eqnarray}$ ist immer lösbar): $\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{c c c \| c} -1 & -1 & 2 & 0\\ -1 & -1 & 2 & 0\\ 2 & 2 & 4 & 0\end{array} \right) \end{eqnarray}$ Du bekommst dann 2 nullzeilen, wenn du z.B. gauß anwendest. Dann definierst dir halt z.b. $\begin{eqnarray} v_3=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_2=1 \end{eqnarray}$ , dann bekommst ganz schnell ein eigenvektor.
19.07.2012, 16:24	Master1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm in der Wikipedia steht $\begin{eqnarray} 1B^Tx \end{eqnarray}$ . Aber das ist doch auch eig egal ob ich den Vektor halbiere oder den Skalar in den Vektor ziehe oder? Ja das mit den zwei Nullzeilen hat mich halt irrietiert das Gleichungssystem hat ja unendlich viele Lösungen. Hmm naja jetzt hab ich aber direkt das nächste Problem: Evektoren sind dann ja $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Den einen hab ich ja nun doppelt, weil der Eigenwert ja doppelt vorkommt, das heißt 2 der EV'en sind linear abhängig. Ich dachte die müssen einen Untervektorraum ergeben? Oder kann ich die nun einfach in die Transformationsmatrix schreiben?

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