einfache differentialgleichung 1 Ordnung.

19.07.2012, 15:41

Master1991

einfache differentialgleichung 1 Ordnung.

Hi,

schon wieder ein Problem mit diesen blöden DGL smile

Gesucht ist die Lösung zu folgender DGL:

$\begin{eqnarray*} x'=cos(t)*x+3cos(t) \end{eqnarray*}$

Ist offensichtlich inhomogen. Also Ansatz: Variation der Konstanten:
$\begin{eqnarray*} x'=cos(t)*x \rightarrow x= e^{sin(t)}+c \end{eqnarray*}$

Wenn das bis hierhin richtig ist wie genau geh ich bei der Variation nun weiter vor?

Ich setze $\begin{eqnarray*} c(t)=e^{sin(t)} \qquad und \qquad c'(t)=cos(t)*e^{sin(t)} \end{eqnarray*}$ ?

Und dann?

19.07.2012, 15:47

Mulder

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RE: einfache differentialgleichung 1 Ordnung.
Ähm... nicht so voreilig.

$\begin{eqnarray*} x' = x \cdot \cos(t) + 3 \cos (t) = \cos(t) \cdot (x+3) \end{eqnarray*}$

Also ich finde, man kann die Variablen da wunderbar trennen. Augenzwinkern

Die Integrationskonstante setzt du übrigens zu einem falschen Zeitpunkt. Mach das genau dann, wenn du auch integrierst! Das ist wichtig!

19.07.2012, 16:04

Master1991

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RE: einfache differentialgleichung 1 Ordnung.
Ich hab die Integrationskonstante doch erst nach dem Integrieren gesetzt, oder?...

Aber das mit dem trennen hab ich nicht gesehen blöd...Nur mal angenommen würde Variation der Konstanten auch zum Ziel führen?

mit TdV:

$\begin{eqnarray*} x'=cos(t)*(x+3) \Leftrightarrow \frac{1}{x+3} dx = cos(t) dt \end{eqnarray*}$

Aber auch so stimmt meine Lösung nicht irgenwas mach ich da scheinbar noch Grundsätzlich falsch:

Also nun darf ich ja integrieren:

$\begin{eqnarray*} ln|x+3|=sin(t)+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{x+3}=e^{sin(t)}+\vec c \end{eqnarray*}$ (Der Vektor soll nur zeigen des es ein anderes c als das oben ist)

$\begin{eqnarray*} e^x*e^3 = e^{sin(t)}+\vec c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=ln(sin(t)) -3 +c +3 \end{eqnarray*}$

Ich glaub ich Stell das irgendwie falsch um unglücklich

19.07.2012, 16:31

Mulder

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RE: einfache differentialgleichung 1 Ordnung.

Zitat:

Original von Master1991
$\begin{eqnarray*} ln|x+3|=sin(t)+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{x+3}=e^{sin(t)}+\vec c \end{eqnarray*}$ (Der Vektor soll nur zeigen des es ein anderes c als das oben ist)

Aha, dann steckt der Fehler hier. Bzw. es sind sogar zwei dicke Fehler. Wenn du auf beiden Seiten die e-Funktion anwendest, erhälst du:

$\begin{eqnarray*} x+3 = e^{\sin(t)+c} = e^{\sin(t)} \cdot e^c \end{eqnarray*}$

Also rechts ein Produkt statt einer Summe. Und links steht einfach nur x+3. Achte auf sowas, das waren eigentlich sehr unnötige Schluderfehler. Das +c steht nun im Exponenten und da muss es auch bleiben! Das kannst du da nicht einfach wieder runterholen, wie du lustig bist und wieder zu einem Summanden umändern.

Zur Vereinfachung kannst du nun natürlich noch

$\begin{eqnarray*} e^c :=d \end{eqnarray*}$

als "einfachere" Variable definieren, dann erhält man die Lösung:

$\begin{eqnarray*} y= de^{\sin(t)}-3 \end{eqnarray*}$

19.07.2012, 16:39

Master1991

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Ah wie doof Hammer

Ja logisch ich benutz ja extra die ln Funktion damit die e Fkt verschwindet Big Laugh

Ja du hast recht, ziemlich dämlicher Fehler und dann auch noch ln Gesetz falsch angwendet. Hmm okay ärgerlich.

Mit das d was du genommen hast soll mein $\begin{eqnarray*} \vec c \end{eqnarray*}$ darstellen

mit $\begin{eqnarray*} x(\pi)=0 \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} x=3e^{sin(t)}-3 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? Und wäre ich mit Variation der Konstanten trotzdem hier angekommen oder geht das nicht wenn ich den Ansatz falsch erkenne?

(Die nächste Aufgabe zur Variation der Konstanten kommt gleich hinterher, das kann ich nämlich auch nicht)

19.07.2012, 16:44

Mulder

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Du kannst natürlich VdK benutzen. Muss aber eben nicht sein, weil man die Variablen ohnehin trennen kann. Das ist dann ja etwas einfacher und kürzer.

19.07.2012, 17:11

Master1991

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Okay, hier direkt die nächste (Ich frag mich ja ob ich das bis nächste Woche begriffen hab Big Laugh

) .. es geht um:

$\begin{eqnarray*} (t^2+5t+6)x'=x^2+x \end{eqnarray*}$

Ansatz: TdV?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{t^2+5t+6} dt = \frac{1}{x^2+x}dx \end{eqnarray*}$

So ist der Ansatz überhaupt richtig? Es gab ja auch irgendwie noch Ansätze mit Polynomen aber ich glaub das war nur für 2te Ordnung richtig?^^

Und nun versuche ich mittels Partialbruchzerlegung die Integrale zu bestimmen

Ist das soweit richtig bevor ich da dumm weiterrechne?

19.07.2012, 17:24

Mulder

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Ist schon richtig mit der PBZ, mach mal.

19.07.2012, 17:56

Master1991

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Hmm ich komm nicht auf das Ergebnis unseres Profs:

Ich hab als Integranten:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{t+3}+\frac{1}{t+2}=-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Nach dem Integrieren also:

$\begin{eqnarray*} -ln|t+3|+ln|t+2|=-ln|x+1|+ln|x|+c \end{eqnarray*}$

So und wenn ich das Auflöse und nach x umstelle bekomm ich:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{t^2+5t+6}{c}+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}=x \end{eqnarray*}$

19.07.2012, 18:09

Mulder

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Naja, da wirst du wohl deine Rechnung zeigen müssen, ich kann so nämlich nicht nachvollziehen, wie du da hingekommen bist. Bei mir steht was komplett anderes.

Bis einschließlich dem Integrieren stimmt ja alles wohl...

19.07.2012, 18:25

Master1991

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Okay, dann hier mal meine Rechnung:
(Mich beruhigt aber schonmal das ich nur zu dumm zum Gleichung auflösen bin und das integrieren hinkriege)

Also es war:

$\begin{eqnarray*} -ln|t+3|+ln|t+2|=-ln|x+1|+ln|x| +c \end{eqnarray*}$

Mit ln(a)+ln(b)=ln(a*b) ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} -ln|t^2+5t+6|=-ln|x^2+x|+c \end{eqnarray*}$

So Betragsstriche kann man ignorieren ist garantiert größergleich 0
Allerdings war ich mir nicht sicher ob das Minus vor dem lg für alles im lg zählt ich hab nun nach Anwendung der e Fkt.

$\begin{eqnarray*} -t^2-5t-6=(-x^2-x)*d \end{eqnarray*}$

Ich vermute hier liegt nun bereits der Fehler...durch das Minus im e steht da ja irgendwas mit 1/ ich glaube ich hab das dann hier falsch umgeformt kann das sein?

19.07.2012, 18:29

Mulder

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Zitat:

Original von Master1991
Mit ln(a)+ln(b)=ln(a*b) ergibt sich:

Ich seh da in deiner Gleichung keine Summe, sondern eine Differenz. Vor dem einen ln-Term steht doch ein Minus. Also: -ln(a)+ln(b) = ln(b/a).

19.07.2012, 18:49

Master1991

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Okay, dann versuch ich das so nochmal:

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{t+2}{t+3})=ln(\frac{x}{x+1})+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{t+2}{t+3}=d*\frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$

Ja das doch schon wieder doof...kann ich da Polynomdivision machen?

Dann ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \frac{t+2}{t+3}=d*(1-\frac{1}{x+1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d*\frac{t+2}{t+3}=\frac{-d}{x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-d(t+3)}{d(t+2)}-1=x \end{eqnarray*}$

Das ist schon wieder falsch böse

Scheiß ln ...was hab ich denn nun wieder falsch gemacht Big Laugh

19.07.2012, 19:46

Mulder

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Diese 1 hier:

Zitat:

Original von Master1991
$\begin{eqnarray*} \frac{t+2}{t+3}=d*(\color{red}1\color{black}-\frac{1}{x+1}) \end{eqnarray*}$

Wo wandert die im nächsten Schritt hin? unglücklich

Und was du mit dem d machst... naja.

19.07.2012, 21:39

Master1991

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Hmm hmm

Tja ich merk schon ich hab da noch einiges zu tun bis zur nächsten Woche...ähm ich hab das jetzt man in den CAS mit dem Ansatz von eben reingehauen, also:

$\begin{eqnarray*} \frac{t+2}{t+3}=d*(1-\frac{1}{x+1}) \end{eqnarray*}$ [/quote]

Das ist nicht die Lösung die unser Prof uns als Musterlösung gegeben hat..kann das sein das an der Stelle schon was schief gelaufen ist?

Aber nichtsdestoweniger geht es mir eig um die Ansätze ob ich letzendlich folgefehler beim rechnen mache ist egal. Also interessiert mich die Lösung auch nicht unmittelbar weiter kostet zuviel Zeit.

Dafür hab ich direkt die nächste DGL ich mach dafür mal nen neuen Thread auf danke dir aber smile

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