Nullstellen eines n-Gradigen Polynoms in Faktorform bestimmen

19.07.2012, 21:31

midgard87

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Nullstellen eines n-Gradigen Polynoms in Faktorform bestimmen

Hallo zusammen,

ich habe folgendes Polynom in Faktorform:

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2(x+2) = 4(x+2) \end{eqnarray*}$

Zur Frage: kann ich die Nullstellen direkt ablesen? (d.h. 1; -2) Oder müssen Umformungen vorgenommen werden? Wenn ja, warum ist das so?

Über Tipps und Denkansätze freue ich mich smile

smile

19.07.2012, 21:36

kgV

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Für welche x ist eine der Klammern gleich Null?
Lg
kgV
Wink

Wink

19.07.2012, 21:38

Cheftheoretiker

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Das stimmt so nicht.

Du musst die $\begin{eqnarray*} 4(x+2) \end{eqnarray*}$ erstmal auf die linke Seite bringen, dann klappt nämlich der Nullproduktsatz nicht auf Anhieb.

Viele Grüße, hangman. Wink

Wink

19.07.2012, 21:39

midgard87

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Die erste Klammer ist für den Wert 1 gleich Null.
Die zweite Klammer für den Wert -2.
Die dritte Klammer für den -2.

d.h. ich habe $\begin{eqnarray*} x_{1/2} = -2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{3} = 1 \end{eqnarray*}$

ok, die Antwort nehme ich zurück. Ich habe die letzte Antwort von hangman nicht gelesen.

19.07.2012, 21:42

kgV

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Uuups, sry, hatte ich in der Eile glatt übersehen
Danke

edit: übernimm gerne du, hangman

19.07.2012, 21:44

Cheftheoretiker

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Wie lautet denn die Gleichung wenn du die $\begin{eqnarray*} 4(x+2) \end{eqnarray*}$ auf die linke Seite bringst und wie würdest du anschließend weiter verfahren?

edit:

Zitat:

übernimm gerne du, hangman

Du darfst gerne weiter machen, schließlich weißt du nun wie es weiter geht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Viele Grüße, hangman. Wink

Wink

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19.07.2012, 22:03

midgard87

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Ich glaube ich bin dahinter gekommen.

Wenn ich $\begin{eqnarray*} (x-1)^2(x+2) = 4(x+2) \end{eqnarray*}$ umforme, erhalte ich

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2(x+2) - 4(x+2) = 0 \end{eqnarray*}$

Es wird ein kubisches Polynom dargestellt, welches von einer linearen Funktion geschnitten wird. Gesucht sind daher die Schnittpukte von f(x) mit g(x). Dies können maximal 3 SP sein, da die Funktion f(x) vom 3.Grad ist.

Ich multipliziere also die zuletzt genannte Funktion aus und erhalte $\begin{eqnarray*} x^3-7x-6 \end{eqnarray*}$
Die geratene Nullstelle ist -1, da f(-1) = 0.

Ich polynomdividiere durch (x+1) und er halte eine Funktion 2.Grades.
Diese Funktion setzte ich in die pq-Formel ein und erhalte

$\begin{eqnarray*} x_{2}= 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{3}= -2 \end{eqnarray*}$

Die Lösungsmenge L = {-2; -1; 3} =)

19.07.2012, 22:15

Cheftheoretiker

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Nun ja, geschickter wäre es, wenn du folgendermaßen vorgehen würdest:

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2(x+2) - 4(x+2) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+2)[(x-1)^2-4]=0 \end{eqnarray*}$

Eine Nullstelle wäre damit schonmal $\begin{eqnarray*} x_1=-2 \end{eqnarray*}$

Nun schauen wir uns noch den inneren Teil an,

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2-4=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-1=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(x-1)=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=3 \vee x_3=-1 \end{eqnarray*}$

Viele Grüße, hangman. Wink

Wink

19.07.2012, 22:15

kgV

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Stimmt soweit Freude

Freude

Geht aber evtl auch einfacher (Nullproduktsatz):
$\begin{eqnarray*} (x-1)^2(x+2)-4(x+2)=0<br /> (x+2)((x-1)^2-4)=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt greift der Nullproduktsatz und liefert dasselbe Ergebnis, nur weniger umständlich
Wink

Wink

edit: @ hangman: wir überschneiden uns dauernd... smile

smile

19.07.2012, 22:18

Cheftheoretiker

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Zitat:

@ hangman: wir überschneiden uns dauernd... smile

Ich dachte da keine Rückmeldung von mir kam, hast du den Thread abgegeben. Big Laugh

Big Laugh

Sorry!

19.07.2012, 22:21

kgV

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Kein Problem, deins ist sowieso ausführlicher. Ich war nur grad nen Moment anderswo beschäftigt.
So oder so, das Problem ist nun ja gelöst, von wem, sollte dabei zweitrangig sein
Wink

Wink

19.07.2012, 22:22

midgard87

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Ok, aus diesem Blinkwinkel habe ich den SvNP noch nie betrachtet. Ihr habt $\begin{eqnarray*} (x+2) \end{eqnarray*}$ ausgeklammert. Dadurch wird die erste Nullstelle geliefert.

Beim betrachten des inneren Teils kommt mir allerdings eine Frage auf:

Wird der Weg von $\begin{eqnarray*} (x-1)^2 = 4 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} x-1 = 2 \end{eqnarray*}$ durch radizieren erreicht? Wenn ja, dann kann ich dir folgen und habe für heute mal wieder was gelernt =)

19.07.2012, 22:31

kgV

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Jep:
$\begin{eqnarray*} (x-1)^2=4<br /> x-1=\pm2<br /> x=1\pm2 \end{eqnarray*}$
was dann -1 und 3 liefert

19.07.2012, 22:38

midgard87

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Ok, eine Folgefrage:

hangman hat beim Radizieren -(x-1) und (x-1) als Lösung verwendet.
Du hast dich für 2 und -2 entschieden.

Ist es egal welchen der beiden Wege ich nehme? Unter Strich sollte ich mich für einen entscheiden smile

smile

19.07.2012, 22:45

kgV

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Dürfte egal sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich persönlich lasse (der Übersichtlichkeit halber) immer die Seite mit $\begin{eqnarray*} (...)^n \end{eqnarray*}$ normal stehen
Wink

Wink

19.07.2012, 22:47

midgard87

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sehr guter Tipp. Ich danke euch beiden für die Unterstützung smile

smile

Habt ihr gut gemacht. Ich habe gerade noch eine 2te Aufgabe nach dem selben Prinzip gelöst, welche vom Aufbau ein wenig schwerer war =

Danke schön! smile

smile

19.07.2012, 22:50

kgV

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Gern geschehen smile

smile

Viel Erfolg weiterhin

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