bedingte Wahrscheinlichkeiten (Theorem von Bayes)

19.07.2012, 22:19

WiWi_Studentin1986

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bedingte Wahrscheinlichkeiten (Theorem von Bayes)

Hallo,

ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

Vor der Einräumung eines Warenkredites an der Wackel GmbH versucht der Alleingesellschafter-Geschäftsführer der Timo Pfiffig GmbH sich ein Bild von der Bonität der Wackel GmbH zu verschaffen. Aufgrund seiner bisherigen Informationen schätzt Timo Pfiffig mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%, dass er keine Forderungsverluse erleiden wird. Um sicher zu gehen, befragt er seine Hausbank. Nach seinen früheren Erfahrungen mit Auskünften seiner Hausbank werden von ihr Kunden mit guter Bonität in 95% der Fälle als kreditwürdig bezeichnet und nur in 5% der Fälle fälschlich als kreditwürdig. Bei Kunden, die sich später nicht als kreditwürdig heraustellen, hatte die Bank in 50% der Fälle eine positive und in 50% der Fälle eine negative Auskunft gegeben. Die Bank warnt Pfiffig vor einer Kreditgewährung. Pfiffig ist nach dieser Auskunft unsicherer als vorher und bittet Sie um eine Stellungnahme. Konkret interessiert ihn, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Kredit notleidend wird.

Ich habe schon Probleme beim Aufstellen der Wahrscheinlichkeiten, die im Text verborgen sind. Meiner Meinung nach schreit die Aufgabe förmlich nach dem Theorem von Bayes. Dieses kann ich aber leider erst anwenden, wenn ich alle Wahrscheinlichkeiten in der Aufgabenstellung richtig herausfiltern kann. Kann mir einer von euch Mathe-Cracks dabei helfen? Ich weiß nur, dass die Wahrscheinlickeit dafür, dass der Kredit notleiden ist, 0,526% beträgt.

LG
Wiwi_Studentin1986

19.07.2012, 22:37

Kasen75

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Hallo,

du weisst, dass jemand mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% eine gute Bonität hat.

Und du weisst, wenn jemand eine gute Bonität bescheinigt wird, er zu 95% kreditwürdig ist.

Also: $\begin{eqnarray*} P(kw|gB)=95% \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} P(gB)=0,9. \end{eqnarray*}$

Was ist jetzt $\begin{eqnarray*} P(kw \cap gB) \end{eqnarray*}$ ?

Mit freundlichen Grüßen.

19.07.2012, 23:00

WiWi_Studentin1986

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Hallo Karsten75,

$\begin{eqnarray*} P(kw \cap gB) \end{eqnarray*}$ = 0,855

Das verwiirt mich aber jetzt nochmehr. Wie genau ist die Bezeichnung für, der Kredit ist notleidend? Mit den beiden 0,5 wahrscheinlichkeiten kann ich irgendwie auch nichts anfangen. Wie du siehst, verstehe ich die Aufgabe nicht mal richtig. ich hoffe du kannst mir weiter helfen.

LG
Wiwi_Studentin1986

19.07.2012, 23:14

Kasen75

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notleidend heißt hier nicht kreditwürdig (nkw).

Dein Ergebnis ist richtig. Freude

Freude

Um den Überblick zu behalten, würde ich eine Vierfeldertafel erstellen.
Zeilenbezeichnung: kw nkw
Spaltenbezeichung: gB sB
Nur ein Vorschlag. Aber ein guter. Big Laugh

Big Laugh

Jetzt kannst du erst mal $\begin{eqnarray*} P(nkw \cap gB) \end{eqnarray*}$ ausrechnen. Einfaches Subtrahieren.
Versuch das mal.

Die 50% sind wieder bedingte Wahrscheinlichkeiten.

sB=schlechte Bonität

$\begin{eqnarray*} P(kw|sB)=0,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(nkw|sB)=0,5 \end{eqnarray*}$

Du kannst wieder durch einfaches Subtrahieren die P(sB) ausrechnen, da du P(gB) kennst.
Versuch auch das mal.

Damit kannst du sowohl $\begin{eqnarray*} P(nkw \cap sB) \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} P(kw \cap SB) \end{eqnarray*}$ berechnen.

19.07.2012, 23:35

WiWi_Studentin1986

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Okay,

hier ersteinmal die einfachen Sachen ;-).

$\begin{eqnarray*} P(nkw \cap gB) \end{eqnarray*}$ = 0,145
P(sB)=0,1

Bei $\begin{eqnarray*} P(nkw \cap sB) \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} P(kw \cap SB) \end{eqnarray*}$ komme ich nicht weiter. Ich habe mir dazu die Vierfeldertafel aufgestellt. Neben diesen beiden Wahrscheinlichkeiten fehlen mir aber in der Vierfeldertafel auch noch P(kw) und P(nkw). Hmm, oder habe ich was übersehen?

19.07.2012, 23:48

Kasen75

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$\begin{eqnarray*} P(nkw \cap gB)=0,145 \end{eqnarray*}$

Hast du dich hier verschrieben?
Was hast du denn von hier abgezogen um zu diesem Ergebnis zu kommen. Du musst bedenken: $\begin{eqnarray*} P(nkw \cap gB)+P(nkw \cap gB)=0,9 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Neben diesen beiden Wahrscheinlichkeiten fehlen mir aber in der Vierfeldertafel auch noch P(kw) und P(nkw)

Die müssen auch noch fehlen. Insofern richtig. Freude

Freude

Du siehst ja, dass P(sB) = 0,1 ist.
Und du hast:
$\begin{eqnarray*} P(nkw|sB)=0,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(nkw|sB)=0,5 \end{eqnarray*}$

Somit kannst du frei nach Bayes $\begin{eqnarray*} P(kw \cap SB) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(nkw \cap SB) \end{eqnarray*}$ berechnen.

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20.07.2012, 00:03

WiWi_Studentin1986

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Entschuldigung, ja ich habe mich verschrieben.

$\begin{eqnarray*} P(nkw \cap gB) \end{eqnarray*}$ =0,045

Ich habe jetzt einfach mal ein Entscheidungsbaum gemalt. Und dann wären:

$\begin{eqnarray*} P(nkw \cap sB) \end{eqnarray*}$ =0,05
$\begin{eqnarray*} P(kw \cap SB) \end{eqnarray*}$ =0,05

Ich bin mir da aber nicht sicher.

20.07.2012, 00:04

Kasen75

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Alles Perfekt. Freude

Freude

Freude

Freude

20.07.2012, 00:05

Kasen75

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Was ist jetzt $\begin{eqnarray*} P(kw) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(nkw) \end{eqnarray*}$ ?

20.07.2012, 00:09

WiWi_Studentin1986

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Genau hier komme ich jetzt nicht weiter. Ich würde folgende Rechnung durchführen:

P(kw)= 0,855 + 0,05= 0,86
P(nkw)= 0,045 + 0,05= 0,095

Probe: 0,86+0,095 ist nicht 1

20.07.2012, 00:11

Kasen75

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P(kw)= 0,855 + 0,05= 0,86

Bist du da sicher?

Das andere stimmt. Freude

Freude

20.07.2012, 00:12

WiWi_Studentin1986

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Okay, ich habe meinen Fehler gefunden. Es ist aber auch schon sehr spät :-). trotzdem noch eine Frage. Mein Prof. hat gesagt, die Wahrscheinlichkeit das der Kredit notleidend wird ist 0,526. Haben wir was falsch gemacht?

20.07.2012, 00:18

Kasen75

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Die Wahrscheinlichkeit, dass man eine schlechte Bonität bekommt, wenn man nicht kreditwürdig ist (notleidend), ist 52,63%.

Also $\begin{eqnarray*} P(sB|nkw)=52,63% \end{eqnarray*}$

Kannst ja mal versuchen, dies nachzuvollziehen. Ich denke wir haben nichts falsch gemacht. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kredit notleidend ist, ist ja 9,5%. 52,63% wäre ja auch zu hoch. Rein logisch gesehen.

20.07.2012, 00:27

WiWi_Studentin1986

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Okay, ich danke dir ersteinmal. Ohne dich hätte ich das nicht gescafft. Ich werde morgen mal versuchen $\begin{eqnarray*} P(sB|nkw)=52,63% \end{eqnarray*}$ nachzuvollziehen. Falls ich es nicht schaffe, schreibe ich einfach nochmal hier rein. Jetzt ist mein Kopf aber ersteinmal etwas überlastet :-).

20.07.2012, 00:29

Kasen75

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Meiner auch. Kannst dich gerne wieder melden. Willkommen

Willkommen

Gute Nacht. Wink

Wink

22.07.2012, 11:26

WiWi_Studentin1986

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Eine Frage hätte ich dann doch noch. Ist die bedingte Wahrscheinlichkeit in der Aufgabenstellung mit 5% P(kw/sB)?

22.07.2012, 17:50

Kasen75

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Hallo,

Im Text heißt es:

Bei Kunden, die sich später nicht als kreditwürdig heraustellen, hatte die Bank in 50% der Fälle eine positive und in 50% der Fälle eine negative Auskunft gegeben.

Jetzt muss man die Formulierung "Bei Kunden, die sich später nicht als kreditwürdig heraustellen[/B]" interpretieren. Später nicht kreditwürdig heißt hier, dass sie nicht gezahlt haben. Somit fallen sie in die Gruppe der Kunden mit schlechter Bonität.
Von den Kunden mit schlechter Bonität, hat die Bank 50% eine positive Auskunkt (kw) gegeben.

Dass ein bestimmter Kunden eine schlechte Bonität hat, weiß Timo natürlich erst hinterher. Er weiß aber wie groß der Anteil aller seiner Kunden ist, die eine schlechte Bonität haben (90%).

Somit ist $\begin{eqnarray*} P(kw \mid sB) = \frac{P(kw \cap sB)}{P(sB)}=\frac{5%}{10%}=50% \end{eqnarray*}$

Hier nochmal die Tabelle:

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}[ht]{l|l|l|l} &gB & sB & \\ \hline nkw & 4,5 & 5 & 9,5 \\ \hline kw & 85,5 & 5 & 90,5 \\ \hline & 90 & 10 & 100 \\ \end{tabular} \end{eqnarray*}$

Mit freundlichen Grüßen.

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