Analytische Geometrie

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Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
Analytische Geometrie
Hallo,
ich bins mal wieder. Ich hab mich in meinem Urlaub mit Analytischer Koordinatengeometrie der Ebene beschäftigt und dabei sind einige Fragen aufgetreten. die mit Definitionen zuasmmenhängen. Ich habe es mir mithilfe eines "ABITUR WISSEN"-Buches erarbeitet:

Brauner, Rudolf; Geiß, Fritz; Dr. Lorbeer, Werner; Sewerin, Horst: ABITUR WISSEN Mathematik
Verlag: Weltbild Kolleg
Augsburg 2000

Die Fragen sind dann eigentlich nur von der Art: "Was ist gebräuchlicher". Dabei gehts mir hauptsächlich aber noch um Schulwissen. Also hier meine Fragen:

1. Dreiecksflächeninhalt:
Ich habe oft verscheidene Definitionen gefunden, so auch hier:
Es seien drei Eckpunkte eines Dreiecks ABC gegeben. Für die Fläche des Dreiecks gilt dann:



So ist die Formel in dem Buch angegeben und dann steht da noch folgendes:

"Außerdem ist zu beachten, dass man für F positive oder negative Werte erhält, je nachdem, ob das Dreieck positiv oder negativ orientiert ist."

Ich denke mal, dass wir alle gelernt haben, ein Dreieck im Gegenuhrzeigersinn zu bezeichnen, d.h. man bezeichnet einen Punkt mit A und wenn man sich den Umkreis vorstellt, dann geht man entgegen dem Uhrzeigersinn auf der Kreislinie weiter und wenn man beim nächsten Eckpunkt ankommt, bezeichnet man den mit B und den dritten dann mit C, aber ihr wisst das ja alle.
Und genau dann, wenn es gegen den Uhrzeigersinn gerichtet ist, dann soll es positiven Flächeninhalt haben, sonst negativen.

In meinem Tafelwerk steht folgende Formel:



also mit Betrag, egal welchen Umlaufsinn.

Meine Frage: Wie ist es gebräuchlicher?? Ich glaube nicht, dass man sagen kann, das eine ist falsch, das andere richtig. Ich möcht nur wissen, ob das eine sehr viel stärker verbreitet ist, als das andere.


2. Hessesche Normalform:

Es wird erstmal die normale HNF genannt mit sin und cos:




und dann folgender Satz:

"Satz 3 : Sei die Gleichung einer Geraden g, so entspricht dieser die HNF:

wobei im Falle C < 0 das Pluszeichen und im Falle C > 0 das Minuszeichen zu wählen ist."


Dann die Erklärung dazu:

"Da stets p > 0 ist, gilt die Vorzeichenregel des Satzes."

D.h. sie sagen, der Abstand soll immer größer als 0 sein.


Jetzt steht aber im Tafelwerk:







D.h. wiederum, im Tafelwerk werden positive und negative Werte für p zugelassen. Also hier ist ja der Vorzeichenunterschied zwischen den beiden Gleichungen, die Gleichungen beschreiben zwar die gleiche Gerade, da sie ja zur gleichen Klasse gehören, aber auch hier wieder die Frage:
Was ist gebräuchlicher??


3. Abstand eines Punktes von einer Geraden:

Hier wird erst eine Definition genannt (g ist eine beliebige Gerade):

"Die Erfüllungsmengen der beiden Ungleichungen und heißen die durch g erzeugten offenen Halbebenen H_1 und H_2. H_2 heißt komplementär zu H_1 und umgekehrt."

Dann darauf folgend der nächste Satz:

"Satz 4 : Hat eine Gerade g die HNF , so hat der Punkt den Abstand
von g."

Erklärung:

"Es ist a = 0, wenn , a > 0, wenn O [(Koordinatenursprung)] und in verschiedenen Halbebenen und a < 0, wenn O und in derselben Halbebene liegen, die von g erzeugt wird."

Und im Tafelwerk steht das ganze dann wieder mit Betrag:



Auch hier wieder die Frage, was ist gebräuchlicher?
Und zusätzlich noch folgende Frage:

Buch sagt:

Bei der HNF ist der Abstand zum Koordinatenursprung O immer positiv.
Der Abstand a eines Punktes von einer Geraden kann positiv und negativ sein.

Tafelwerk sagt:

Bei der HNF kann der Abstand zum Koordinatenursprung O positiv und negativ sein.
Der Abstand a eines Punktes von einer Geraden ist immer positiv.

Ist da nicht bei beiden ein Widerspruch??

4. Winkelhalbierende:

Da ist folgender Satz, der sehr auf der Definition von positiven und negativen Abständen von einem Punkt zu einer Geraden basiert:

"Satz 5 : Seien und die linken Seiten der HNF der [nicht parallelen] Geraden und und [wie geht der Bogen, also das Zeichen für Schnittmenge??] mit . Dann ist die Gleichung der [einen] Winkelhalbierenden [...] [und] die Gleichung der anderen Winkelhalbierenden [...] ."

Herleitung: Für die eine Winkelhalbierende gilt:
Abstand von der einen Geraden = Abstand von der anderen Geraden

Für die andere gilt nach Definition der Halbebenen und dem Satz 4, da ein Abstand dann negativ ist:
Abstand von der einen Geraden = - Abstand von der anderen Geraden

So und jetzt die Frage:

Mit der Abstandsformel aus dem Tafelwerk, also mit Betrag, bekäme man nicht beide, sondern nur eine Winkelhalbierende. Ist da jetzt ein systematischer Definitionsfehler beim Tafelwerk??


Also, ich würde mich über Antworten sehr freuen, auch wenn es für den einen oder anderen etwas eigenartig aussehen mag, dass ich nach solchen "banalen" Dingen frage, aber es ist wichtig für mich, damit ich ein paar mir selbst ausgedachten Dinge beweisen kann und damit ich einen besseren Überblick über das Thema habe, also vielen Dank für alle Antworten!!! :]
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

zu 1.

Die zyklische Flächenformel liefert zum einen - abgesehen vom Vorzeichen - immer den richtigen Zahlenwert. Da man das Dreieck beliebig umlaufen, also die Reihenfolge der Punkte willkürlich wählen kann, ist anschließend zum zweiten auf jeden Fall der absolute Betrag zu nehmen, wenn man den Betrag der Fläche kennen will. Das Vorzeichen sagt zusätzlich noch aus, ob die Flläche gegen den Uhrzeigersinn (positiv) oder mit dem Uhrzeiger (negativ) umalufen wurde. Also sind dies zwei getrennte Ergebnisse und man kann so nicht sagen, dass eines mehr verbreitet ist als das andere.

Zu 2.

Die trigonometrische Form der HNF (Hesse'schen Normalform) ist die weitaus interessantere, wenn auch ältere. In dieser ist das p der Abstand des Nullpunktes von der Geraden und immer positiv (!), dh. in der HNF muss zum Schluss immer .. - p = 0 stehen.
Wenn es dich interessiert, kann ich das noch genauer behandeln, ich habe einmal in einem Forum über dieses Thema geschrieben und werd' das mal, wenn ich's finde, rekapitulieren. Gebräuchlicher ist allerdings heute eindeutig die Form ohne cos und sin.

Zu 3.

Die scheinbaren Widersprüche liegen in den verschiedenen Anfangsvoraussetzungen begründet. Entweder betrachtet man den Abstand immer nur als absolut oder man setzt - je nach Orientierung - noch das entsprechende Vorzeichen hinzu.

Gut verständlich ist, wenn der Abstand des Nullpunktes immer als positiv betrachtet wird, während dann der Abstand eines beliebigen weiteren Punktes von dieser Geraden positiv oder negativ ist, je nachdem, ob er sich auf derselben Seite der Geraden wie der Nullpunkt befindet oder ob beide auf verschiedenen Seiten der Geraden liegen.

Zu 4.

Der Betrag der Abstände hindert keineswegs daran, einmal die beiden HNF's zu addieren und zum anderen dann zu subtrahieren. Es müssen sich ja - wie auch immer - zwei Winkelhalbierende ergeben.
Allerdings ist es ohne Sachverhalts-Skizze nicht so leicht eruierbar, ob nun gerade eben eine Innenwinkel- oder Aussenwinkelhalbierende berechnet wurde. Daher ist in diesem Fall der vektoriellen Methode der Vorzug zu geben. Dabei werden die beiden von einem Punkt ausgehenden Vektoren normiert oder aber auch nur auf gleiche Länge gebracht (die nicht notwendigerweise 1 sein muss) und diese nun a) für den Innenwinkel addiert b) für den Aussenwinkel subtrahiert. Die Ergebnisse sind dann klar und eindeutig!

Gr
mYthos
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen vielen Dank mythos!! Hast mir wirklich sehr geholfen. Nochmal zu 4.:

Zitat:
Original von mYthos

Zu 4.

Der Betrag der Abstände hindert keineswegs daran, einmal die beiden HNF's zu addieren und zum anderen dann zu subtrahieren. Es müssen sich ja - wie auch immer - zwei Winkelhalbierende ergeben.
Allerdings ist es ohne Sachverhalts-Skizze nicht so leicht eruierbar, ob nun gerade eben eine Innenwinkel- oder Aussenwinkelhalbierende berechnet wurde. Daher ist in diesem Fall der vektoriellen Methode der Vorzug zu geben. Dabei werden die beiden von einem Punkt ausgehenden Vektoren normiert oder aber auch nur auf gleiche Länge gebracht (die nicht notwendigerweise 1 sein muss) und diese nun a) für den Innenwinkel addiert b) für den Aussenwinkel subtrahiert. Die Ergebnisse sind dann klar und eindeutig!

Gr
mYthos


Wenn man den Abstand eines Punktes von einer Geraden als nichtnegativ definiert, so kommt man bei der Herleitung der Formeln für die eine Winkelhalbierende auf



und für die andere ebenfalls auf dieses Ergebnis. Mit der anderen Definition bekäme man zumindest für einen der vier Abstände ein anderes Vorzeichen als das des dazugehörigen Abstands der anderen Geraden. Sicher hindert es nicht daran, einmal zu addieren und einmal zu subtrahieren, aber die Herleitung bekäme man so nicht hin. verwirrt

Übrigens: Vektorrechnung war mir noch zu kompliziert erklärt in dem Buch. Kann ich also noch nich, aber trotzdem danke für den Hinweis!

Zitat:
Original von mYthos
Wenn es dich interessiert, kann ich das noch genauer behandeln, ich habe einmal in einem Forum über dieses Thema geschrieben und werd' das mal, wenn ich's finde, rekapitulieren. Gebräuchlicher ist allerdings heute eindeutig die Form ohne cos und sin.


Das wäre sehr nett, ich kann ja auch mal suchen. Weißt du noch ungefähr das Datum?? Edit: Hab grad gesehen, dass du geschrieben hast, in einem Forum. Wenns nich das hier war, kann ich doch eher wenig helfen.


Nochmal vielen Dank mythos! :] Ich hatte schon aufgegeben, eine Antwort zu bekommen. :P
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler

...

Wenn man den Abstand eines Punktes von einer Geraden als nichtnegativ definiert, so kommt man bei der Herleitung der Formeln für die eine Winkelhalbierende auf



und für die andere ebenfalls auf dieses Ergebnis. Mit der anderen Definition bekäme man zumindest für einen der vier Abstände ein anderes Vorzeichen als das des dazugehörigen Abstands der anderen Geraden. Sicher hindert es nicht daran, einmal zu addieren und einmal zu subtrahieren, aber die Herleitung bekäme man so nicht hin. verwirrt

...


Die Abstände können durchaus nichtnegativ sein, also beide als solche positiv. Dennoch ist dann einmal



und



Das Plus beim zweiten Mal muss deswegen gesetzt werden, weil dann bei einer der beiden Geraden der Nullpunkt auf der anderen Seite liegt.

Mittlerweile habe ich den seinerzeitigen Thread (2003) gefunden:

°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Eine weniger verwendete, aber interessante und effiziente Form der Geradengleichung ist die HNF mit Winkelfunktionen. Dazu setzt man zunächst die Gerade in der Abschnittsform an:

x/c + y/d = 1 (c, d Abschnitte auf der x- bzw. y-Achse)

Der Normalabstand des Ursprunges von der Geraden sei p, der mit der positiven x-Achse den Winkel phi einschließt. In den beiden von p und den Achsenabschnitten gebildeten rechtwinkeligen Dreiecken gelten dann die Defintionen der Winkelfunktionen:

sin(phi) = p/c, cos(phi) = p/d
c = p/sin(phi), d = p/cos(phi)
wieder in die Abschnittsform einsetzen ->

x*cos(phi) + y*sin(phi) - p = 0

Auch diese Beziehung wird mit Hesse'sche Normalform bezeichnet.
Hier kommt dem Vorzeichen von p - wie auch später dem des Abstandes r - bereits eine eminente Bedeutung zu, man darf es nicht mehr einfach weglassen!

cos(phi) = Ao, sin(phi) = Bo, -p = C0
Auf Grund der Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen ist Ao² + Bo² = 1

Um nun von der Form Ax + By + C = 0 auf die o.a. HNF zu gelangen, muss man die Geradengleichung durch eine Zahl q so dividieren, dass dann A²/q² + B²/q² = 1 wird.

->

Die HNF kann nun folgendermaßen angeschrieben werden:



Es ist zu erkennen, dass immer gilt:

.

Wenn man durch geeignete Erweiterung der Gleichung dafür Sorge trägt, dass in der HNF das letzte (absolute) Glied immer negativ ist, bezeichnen die Vorzeichen des x- bzw. y-Gliedes als cos- bzw- sin-Funktion den Quadranten, in dem der Winkel phi liegt.

Das Vorzeichen des y-Gliedes als Sinus-Wert gibt an, ob der Abstand po nach oben (Vorzeichen positiv, Winkel phi zwischen 0 und pi) oder nach unten gerichtet ist (Vorzeichen negativ, phi zwischen pi und 2*pi)

Zum Abstand r eines beliebigen Punktes P(x1/y1) von g ist es nun nur noch ein kurzer Weg:
Für die durch P gezogene Parallele zu g gelten dieselben Voraussetzungen hinsichtlich der HNF wie bei g, der einzige Unterschied liegt bei deren Abstand vom Ursprung, er sei p1. Für diese Parallele gilt zunächst, dass die Koordinaten von P diese erfüllen müssen:

Ax1 + By1 + C = 0
-C = Ax1 + By1

Ax + By - (Ax1 + By1) = 0



Der gesuchte Abstand ist nun
r = p1 - p





Wir sehen also, dass der Abstand genauso zu ermitteln ist, wie bei der Normalvektorform.

Das Vorzeichen von r gibt aber hier den Sachverhalt noch genauer wieder:
r > 0: P und O liegen auf verschiedenen Seiten der Geraden
r < 0: P und O liegen auf der gleichen Seite der Geraden

Gehen wir zur Illustration von einem Beispiel aus:
7x - 24y = 122 bzw.
7x - 24y - 122 = 0 |:25
(7/25)*x - (24/25)*y - 122/25 = 0
-> p = 122/25, nach unten gerichtet, weil die Koeffizienten einen Winkel im 4. Quadranten ergeben.

Abstand r des Punktes P(10|2) von g:

r = (7*10 - 24*2 - 122)/25 = -4
-> P und O liegen auf der gleichen Seite der Geraden

Durch eine Skizze kann dieses Ergebnis auch verifiziert werden.

°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Gr
mYthos
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für das Finden des Beitrags!!! :] Hat jetzt vollends zum Aufklären über positiv und negativ beigetragen, aber eigentlich steht das auch alles so in meinem Buch, also Herleitung über Achsenabnschnittsform (zumindest , dass man es so machen kann) und der Satz 3 wurde auch so hergeleitet, wie du es gemacht hast, nämlich, dass man sagt, es sei ein faktor q und dann quadriert und dann dieses Ergebnis erhält.

Zitat:
Original von mYthos

Wenn man durch geeignete Erweiterung der Gleichung dafür Sorge trägt, dass in der HNF das letzte (absolute) Glied immer negativ ist, bezeichnen die Vorzeichen des x- bzw. y-Gliedes als cos- bzw- sin-Funktion den Quadranten, in dem der Winkel phi liegt.


Das ist ja dann sogar schon direkt mit im Satz 3 mit drin:

"...wobei im Falle C < 0 das Pluszeichen und im Falle C > 0 das Minuszeichen zu wählen ist."

Und im Satz 4 ist dann auch das mit dem positiven/negativen Abstand drin.


Aber nochmal zurück:

Zitat:
Original von mYthos

Das Plus beim zweiten Mal muss deswegen gesetzt werden, weil dann bei einer der beiden Geraden der Nullpunkt auf der anderen Seite liegt.


Ja, aber das mit dem Nullpunkt wird doch erst durch die negativen Abstände so definiert. D.h. im Tafelwerk wird mMn nicht berücksichtigt, dass diese Abstände dann als negativ dargestellt werden müssen. Wenn man erst dann sagt, es müsste so sein, dann könnte man es ja auch gleich so definieren, dass man negative Abstände zulässt. Oder wie genau meinst du das??
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

was 'anderes ...'

Tipp,

lege deines zur Seite und befasse dich mit analytischer Geometrie
auf vektorieller Basis. Das ist letztendlich einfacher, weitreichender
und damit auch sinnvoller.
(... hat nichts mit 'deiner HNF' von oben zu tun)


smile
 
 
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schliess mich Poff an, obwohl sicherlich garnichts falsch daran ist es über deine Methodik zu machen. Aber für Geometrie im R³ und R² bietet sich die Vektorrechnung einfach an da es ja ohnehin schon Vektorräume sind. Die Grundlagen sind schon für 10 Klässler verständlich und da ich deine Leistungen weit höher einschätze denk ich das es für dich garkein Problem sein sollte in die Vektorrechnung zu finden. Aber wie gesagt du kannst es auch so machen, nur kann ich dir da nich helfen weil ich davon mehr oder weniger kein Plan hab Augenzwinkern
Guevara Auf diesen Beitrag antworten »

Mathespezialschüler

wie viele Seiten sind in deinem Abiturwissen über Differentialgleichungen. Bei meinem von 1998 sind es nur 8 Seiten.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Mazze und Poff

Ja, ok wenn ihr meint, aber das Buch hilft mir bei dem Thema glaub ich nich weiter, obwohl ich den "Analytische Geometrie"-Teil ohne Vektoren doch gut fand. Naja.
Habt ihr einen Tipp, wie ichs mir aneignen kann, vielleicht ein anderes Buch??
Danke euch schonmal für den Tipp, das zuerst zu machen!! :]


Zitat:
Original von Guevara
Mathespezialschüler

wie viele Seiten sind in deinem Abiturwissen über Differentialgleichungen. Bei meinem von 1998 sind es nur 8 Seiten.


Hättest mich das lieber per PN fragen können und nich hier in einen Thread, der sogut wie nichts damit zu tun hat (außer dem Buch). Aber nagut: bei mir sinds auch 8!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube dafür brauchst du nicht mal n Buch

http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/ku...chnitt1_15.html

Gibs schon ne kleine Einführung , hab da kurz mal gegooglet Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke! Ich gucks mir gleich mal an! :]
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich ahb hier nochwas, ist aber auch ne Universitätsseite, naja als zu schwer isses nicht

http://rosewood.fernuni-hagen.de/MIB/HTML/node51.html
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ... ich hab die herkömmliche Art ziemlich ausgiebig gemacht
und musste dann wegen (Nach)Hilfe für eine sehr nahe stehende
Person, mich gezwungenermaßen mit der vektoriellen Variante
auseinandersetzen (von Null an).

Dabei hab ich die ganz klare Erfahrung machen müssen, das vieles
eleganter und einfacher wird dadurch.
Vielleicht ganz zu Anfang etwas ungewohnt, aber das legt sich
recht schnell und bringt dafür eine Menge Vorteile mit.


Hängengeblieben ist --außer der ganz klaren 'Erkenntnis', dass
dies die bessere Variante ist-- nicht allzuviel, weil es eben nur
eine recht 'kurze' Eskapade war ...


Augenzwinkern
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