Integralrechnung

19.07.2012, 23:30

Hannah...

Integralrechnung

Meine Frage:
Kann mir jemand bei diesem Integral helfen?

$\begin{eqnarray*} \int_1^4 \! x\sqrt{x^{2}-1 } \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Muss ich da erst Substitution und dann partielle Integration anwenden? Ist das überhaupt möglich?
Also könnte ich zuerst \sqrt{x^{2}-1} = u setzen? Aber dass macht ja eigentlich auch nicht so einen Sinn? Kann mir da jemand weiterhelfen?

edit von sulo: Latex-Klammern gesetzt.

19.07.2012, 23:38

original

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RE: Integralrechnung
.
substituiere u= x^2 - 1

ok?

19.07.2012, 23:39

Helferlein

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Ich würde es eher mit t=x²-1 versuchen Augenzwinkern

Edit: original war schneller, bin raus.

19.07.2012, 23:49

Hannah...

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RE: Integralrechnung
Das ist doch das Gleiche? nur t statt u? Aber dann habe ich ja x *u da stehen. Dass kann ich doch dann nicht einfach partiell integrieren?

20.07.2012, 00:04

Cheftheoretiker

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RE: Integralrechnung
Da beide offline sind, mache ich mal weiter.

$\begin{eqnarray*} u=x^2-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}=2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{1}{2x}du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_1^4 x\sqrt{u}\frac{1}{2x}du \end{eqnarray*}$

Jetzt solltest du weiter kommen...

Viele Grüße, hangman. Wink

20.07.2012, 00:07

Helferlein

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Die Grenzen sollten natürlich auch angepasst werden, sonst klappt es nicht.

@Hannah: Mein Posting war zeitgleich mit originals, daher haben wir inhaltlich dasselbe geschrieben.

20.07.2012, 00:09

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von Helferlein
Die Grenzen sollten natürlich auch angepasst werden, sonst klappt es nicht.

Oder nach der Integration rücksubstituieren. Augenzwinkern

Viele Grüße, hangman. Wink

20.07.2012, 01:04

Iorek

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Zitat:

Original von hangman
Oder nach der Integration rücksubstituieren. Augenzwinkern

Nein, nur resubstituieren reicht nicht. Natürlich kann man das am Ende rückgängig machen und resubstituieren, allerdings ist $\begin{eqnarray*} \underbrace{\int_1^4x\sqrt{x^2-1}\,d x}_{=5\sqrt{15}}\neq \underbrace{\int_1^4 \frac 12\sqrt u \,du}_{=\frac 73} \end{eqnarray*}$ . Die Grenzen müssen mit substiuiert werden.

20.07.2012, 01:31

Cheftheoretiker

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Die Grenzen muss man nicht substituieren.

$\begin{eqnarray*} \int_1^4 \frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}}du=\left[\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}\right]_1^4=\left[\frac{\sqrt{(x^2-1)^3}}{3}\right]_1^4=5\sqrt{15} \end{eqnarray*}$

20.07.2012, 08:37

Iorek

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@hangman,

das kannst du gerne so oft wiederholen wie du willst, es wird dadurch nicht richtiger. unglücklich

$\begin{eqnarray*} \int_1^4 \frac 12 \sqrt u\, du=\left[\frac {u^{\frac 32}}{3}\right]_1^4={4^{\frac 32}}{3}-{1^{\frac 32}}{3}=\frac 83-\frac 13=\frac 73 \end{eqnarray*}$

Die Grenzen müssen! auch substituiert werden, auch wenn man später resubstituieren will!

20.07.2012, 09:59

Mulder

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Zitat:

Original von hangman
Die Grenzen muss man nicht substituieren.

$\begin{eqnarray*} \int_1^4 \frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}}du=\left[\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}\right]_1^4=\left[\frac{\sqrt{(x^2-1)^3}}{3}\right]_1^4=5\sqrt{15} \end{eqnarray*}$

@hangman: Es steht dir frei, bei einer Substitution erstmal in einer Nebenrechnung unbestimmt zu intregrieren (also die Grenzen erstmal wegzulassen), um eine Stammfunktion zu ermitteln, wo du dann die alten Grenzen nach der Rücksubstitution einsetzt. Das ist in Ordnung.

Was aber NICHT in Ordnung ist, was du aber hier fortwährend machst, ist, die Grenzen, die sich auf x beziehen, einfach am Integral stehen zu lassen, wenn du aber doch schon substituiert und damit eine neue Variable eingeführt hast. Da ändern sich nunmal die Grenzen und du kannst nicht einfach die alten stehen lassen. Das ist sonst falsch, weil du da eine Gleichung stehen hast, die einfach nicht erfüllt ist. Das hat Iorek hier schon illustriert:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\int_1^4x\sqrt{x^2-1}\,d x}_{=5\sqrt{15}}\neq \underbrace{\int_1^4 \frac 12\sqrt u \,du}_{=\frac 73} \end{eqnarray*}$

Erstaunlich, dass du das einfach ignorierst. unglücklich

Also: Grenzen mitsubstituieren, oder erstmal komplett weglassen. Aber nicht einfach die alten Grenzen stehen lassen. Sonst steht da zwischenzeitlich etwas falsches. Du kannst sicher sein, dass dir das jeder Lehrer in einer Klassenarbeit anstreichen würde, so wie du es hier fortwährend schreibst.

20.07.2012, 10:23

Cheftheoretiker

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Ok, ich habe ehrlich gesagt die Grenzen nach der Substitution noch nie geändert, aber wenn es notwendig ist, werde ich mir das merken.

Vielen Dank! smile

20.07.2012, 11:54

Hannah...

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Vielen Dank! Jetzt hab ich es verstanden...

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