Nullelement im Vektorraum

19.07.2012, 23:44

sergo

Nullelement im Vektorraum

Meine Frage:
Hallo!
Ich habe ein Problem zu verstehen, was genau ein Nullelement in einem Vektorraum ist. Die Aufgabe, in der ich die Problematik habe, besteht darin festzustellen ob ein vektorraum vorliegt.

zu untersuchen ist :
$\begin{eqnarray*} \{ f: \mathbb R ->\mathbb R | f(x):=1+a \sin (x), \forall x\in \mathbb R, a\in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$

In diesem Forum wurde gesagt,es sei kein vektorraum weil das Nullelement nicht vorhanden ist, denn 1+a sin (x) = 0 lässt sich nicht für alle x lösen. Das heißt, man geht davon aus dass Variable a fest ist. Ich würde jetzt sagen, man kann aber die variable a variieren.

Meine Ideen:
Ich würde mich um eine Aufklärung freuen. Ich suchte bereits das Internet ab, jedoch stieß ständig auf Informationen die besagten ,dass es ein Nullelement geben muss im Sinne von f(x)+h(x)=f(x) mit h(x)=0. Was lediglich überall steht. Eien informationsreiche Quelle mit einer deutlichen erklärung würde auch reichen. Danke im vorraus smile

20.07.2012, 00:16

Mulder

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RE: Nullelement im Vektorraum
Nein, dieses a darfst du nicht einfach variieren, es ist ja keine Variable, wie das x. Es ist ein beliebiger, aber eben dennoch fester Parameter. Sobald du das a veränderst, hast du wieder eine andere Funktion. Habt ihr in der Schule denn nicht auch mal Kurvendiskussionen mit Funktionenscharen durchgeführt? Genau das liegt hier auch vor.

Mach dir mal klar, wie die Elemente dieser Menge aussehen. Mal ein paar Beispiele:

$\begin{eqnarray*} f_1(x) = 1+ \sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{500}(x) = 1+500 \sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{- \pi}(x) = 1- \pi \sin(x) \end{eqnarray*}$

usw... Du kannst für a jede reelle Zahl einsetzen, aber in dem Moment hast du dann eine feste Funktion vorgegeben, indem nur das x eine Variable ist.

Und du wirst feststellen, dass egal was du für a einsetzt, niemals die Nullfunktion rauskommt. Je nachdem, was du für a einsetzt, kann diese Funktion Nullstellen haben oder nicht. Aber sie wird niemals überall null sein.

21.07.2012, 03:59

sergo

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Vielen Dank für die Antwort Mulder!

wenn man aber jetzt diesen Vektorraum nehmen würde:
$\begin{eqnarray*} \{ f: \mathbb R ->\mathbb R | f(x):=a_{1}2^x+a_{2}(x-1), \forall x\in \mathbb R, a_{1}, a_{2}\in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{1}2^x+a_{2}(x-1)=0 \end{eqnarray*}$ ist jetzt aber auch nicht für alle x lösbar.

Da es ein Vektorraum ist, muss hier eine Nullfunktion sein. verwirrt

21.07.2012, 09:40

Bernhard1

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Hallo sergo,

ich denke man kommt bei diesem Thema mit anderen Begriffen etwas weiter. Zuerst sollte man sich klarmachen, dass die zu untersuchenden Mengen Funktionenräume sind. Funktionen kann man aber addieren und damit kann man prüfen, ob die zu untersuchenden Räume überhaupt Gruppen bezüglich der Addition sind. Bei der ersten Menge von oben ist das nicht der Fall (Wieso?). Bei der zweiten Menge dagegen schon. Die restlichen Vektorraum-Axiome sind dann relativ trivial zu beweisen/behandeln.
Mit Gruß

Nachtrag1:

Zitat:

Original von sergo
$\begin{eqnarray*} a_{1}2^x+a_{2}(x-1)=0 \end{eqnarray*}$ ist jetzt aber auch nicht für alle x lösbar.

Was ist mit a1=a2=0?

Nachtrag2:

Zitat:

Original von Telefonmann1
Bei der ersten Menge von oben ist das nicht der Fall (Wieso?).

Tip: Was passiert, wenn man zwei Elemente dieser Menge addiert? Ist dieses neue Element dann wieder ein Element der vermeintlichen Gruppe?
Gruß

Edit(Helferlein): Bitte benutze die Edit-Funktion, wenn Du mehrere Antworten hintereinander gibst. Hab die drei mal zusammengefügt.

21.07.2012, 19:05

sergo

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Danke für den Eintrag Telefonmann1!

Die Bedingung für die Addition ist bei der ersten Menge nicht erfüllt, weil bei der Addition zweier Elemente dieser Menge f und h
$\begin{eqnarray*} f(x) + h(x)=g(x)<br /> <=> 1+a_1 \sin(x) + 1+a_2\sin(x)= 2 + (a_1 + a_2) \sin(x) \end{eqnarray*}$
g nicht mehr Element dieser Menge ist, da sozusagen die Konstante 1 nicht mehr da ist => kein Vektorraum. Die Bedingung für die Multiplikation ist natürlich auch nicht erfüllt.

Zitat:

Was ist mit a1=a2=0?

Ich hab irgendwie die triviale Lösung nicht in Betracht gezogen. Somit ist das also das Nullelement der zweiten Menge.

Somit hat sich meine Frage soweit erledigt. Ich bedanke mich. Ich glaub ich weis jetzt worauf zu achten ist.

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