Ausklammern bei vollständiger Induktion

20.07.2012, 11:55

erste hilfe

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Ausklammern bei vollständiger Induktion

Meine Frage:
hallo hab mit mathe lang nix am hut gehabt ! nun muss ich aber doch nochmal!
die anfangsgleichung!
1^4+2^4+3^4...+(n+1)^4= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^4 \end{eqnarray*}$ =n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
meine frage kann mir einer bitte mal erklären wie ich dies ausklammere!?!
(n+1)*(6n^4+6n^3-2n^2+3n^3+3n^2-n+30n^3+90n^2+90n+30)
wird umgewandelt zu (n+1)*(6n^4+39n^3+91n^2+89n+30) bis dahin gibt es keine probleme! nun muss nach der induktionvorraussetzung ausgeklammert werden und es kommt raus
(n+1)((n+2)(6n^3+27n^2+37n+15)) sorry aber ich verstehe nicht wie dort ausgeklammert wird! möchte das system verstehen fals es einen fach ausdruck gibt bitte einmal nennen!
die aufgabe geht dann weiter in (n+1)(n+2)(2n+3)(3n^3+9n+5)
und endet hier (n+1)(n+2)(2n+3)(3(n+1)^2+3(n+1)-1)qed

sorry für meine schlechte ausführung bin noch nicht ganz damit vertaut mathegleichungen ins netz zu stellen! würde mich aber freuen wenn mir jemand mal das ganze erklärt! achja das grundprinzip (n) wird zu( n+1 )ist gröstenteils bei mir angekommen!

Meine Ideen:
da ich eine idee angeben muss schreib ich mal rein das ich viel rumprobiert habe aber auf keinen grünen zweig komme wie das richtig gemacht wird!

20.07.2012, 12:28

Cheftheoretiker

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RE: ausklammern bei vollständiger induktion
Hi,

ehrlich gesagt weiß ich garnicht wo deine untere Gleichung herkommt? verwirrt

verwirrt

Du willst doch folgendes zeigen,

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das richtig interpretiere?! verwirrt

verwirrt

Wieso willst du dort denn etwas ausklammern?
Einfach mit dem Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung und Induktionsschritt verfahren.

Viele Grüße, hangman. Wink

Wink

20.07.2012, 13:38

erste hilfe

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die gleichung ist die anfangsgleichung! stimmt!

wie würdest du es den machen?

20.07.2012, 13:52

Cheftheoretiker

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Ja als erstes den Induktionsanfang,

I.A.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1)^4=\frac{1(1+1)(2\cdot 1+1)(3\cdot 1^2+3\cdot 1-1)}{30} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=1 \end{eqnarray*}$ Also ist der I.A. schonmal geglückt.

I.V.

Für ein $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt, $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} \end{eqnarray*}$

I.S.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k^4=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)(3(n+1)^2+3((n+1)-1)}{30} \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nicht verrechnet habe... verwirrt

verwirrt

Nun würde ich erstmal nicht ausmultiplizieren, sondern die linke Seite bearbeiten und die I.V. ausnutzen.

Viele Grüße, hangman. Wink

Wink

20.07.2012, 18:06

erste hilfe

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ja und genau da liegt mein problem das script welches vor mir liegt löst die aufgabe nun mal nicht auf diesen weg! sondern (ausgangsgleichung )+(n+1)^4

danach wird es auf einen bruch gebrach also (n+1)^4 /30 und danach ausgeklammert!

finde ja toll das du mir versuchst zu helfen!!
da du dich anscheinend gut in mathe auskennst rechne es doch mal bitte zu ende!
der weg den du gehen möchtest ist mir grad um einiges logischer !
jetzt wirst du sagen kannst doch selber machen aber ich bin leider noch nicht so fit (schäm) traurig

traurig

20.07.2012, 18:16

Cheftheoretiker

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Ich zeige dir mal wie man weiter machen muss.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k^4=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)(3(n+1)^2+3((n+1)-1)}{30} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} k^4+(n+1)^4=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)(3(n+1)^2+3((n+1)-1)}{30} \end{eqnarray*}$

Nun wissen wir aus der I.V. das für ein $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt, $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} \end{eqnarray*}$

und substituieren den Ausdruck.

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}+(n+1)^4=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)(3(n+1)^2+3((n+1)-1)}{30} \end{eqnarray*}$

Wenn nun auf beiden Seiten das selbe steht, ist der Beweis geglückt.
Den rechenpart überlasse ich nun dir. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Viele Grüße, hangman. Wink

Wink

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22.07.2012, 13:34

erste hilfe

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sei doch bitte so freundlich und rechne es doch mal aus! muss ich unbedingt betteln?????
hab doch geschrieben das ich nicht so fit bin in mathe ! und die gleichung von dir macht es für mich nicht grad einfacher! um genauer zu sein der beweis kommt nicht hin!
möchte es doch nur einmal vorgerechnet haben den rest such ich mir selber dann zusammen bzw versuch die vorgehensweise zu übernehmen!

mich wundert es das sonst keiner mal antwortet traurig

traurig

22.07.2012, 13:52

Cheftheoretiker

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Vorrechnen werde ich den letzten Schritt nicht. Soviel Eigeninitiative darf wohl verlangt werden das du einen Bruch auf den HN bringst und schaust ob beide Seiten der Gleichung äquivalent sind.

22.07.2012, 14:17

erste hilfe

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hab mein ergebnis mal mit dem script verglichen da steht eigentlich auch fast das gleiche!

( $\begin{eqnarray*} n^{2} \end{eqnarray*}$ +3n+2)(2n+3) ( $\begin{eqnarray*} 3n^{2} \end{eqnarray*}$ +9n+5) / 30

evtl kann mir mal einer sagen wie ich den langen bruchstrich hinbekomme!(danke)

22.07.2012, 14:28

erste hilfe

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so nun muss ich das ding äquivalent bekommen ! zu erkennen das die gleichung auch tatsächlich äquivalent ist hab ich auch noch einige schwierigkeiten!

=n(n+1)(2n+1)( $\begin{eqnarray*} 3n^{2} \end{eqnarray*}$ +3n-1) (2n+2)(2) (6n+6)

das hätte ich jetzt gerechnet ! ist aber falsch oder ?

23.07.2012, 13:09

erste hilfe

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hangman gib mir bitte doch noch mal ein denk anstoss!

23.07.2012, 13:22

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von erste hilfe

( $\begin{eqnarray*} n^{2} \end{eqnarray*}$ +3n+2)(2n+3) ( $\begin{eqnarray*} 3n^{2} \end{eqnarray*}$ +9n+5) / 30

Wo kommt der Ausdruck denn her? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{(n^2+4n+2)(2n+3)(3n^2+9n+5)}{30} \end{eqnarray*}$

Schau mal hier, [User-Tutorial] LaTeX für Anfänger

$\begin{eqnarray*} =n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1) (2n+2)(2) (6n+6) \end{eqnarray*}$

Wie kommst du darauf, wo kommt der Ausdruck her. Du musst schon sagen was du machst, sonst kann man deine Rechnung nicht nachvollziehen.

Wieso schaust du dir nicht die Gleichung von mir an und schaust ob sie äquivalent ist?

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}+(n+1)^4=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)(3(n+1)^2+3((n+1)-1)}{30} \end{eqnarray*}$

23.07.2012, 13:34

ertse hilfe

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hab versucht das ganze äquivalent zu bekommen! so hab ich es auf jeden fall mal gelernt! der vordere teil der gleichung mus genau so ausshen wie die ausgangsgleichung + das mehrausgerechnet (n+1)

23.07.2012, 13:39

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von ertse hilfe
hab versucht das ganze äquivalent zu bekommen! so hab ich es auf jeden fall mal gelernt! der vordere teil der gleichung mus genau so ausshen wie die ausgangsgleichung + das mehrausgerechnet (n+1)

Dann schreib doch bitte mal deine Rechenschritte auf, dann kann man dir eher helfen.

Viele Grüße, hangman. Wink

Wink

23.07.2012, 14:02

ertse hilfe

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hab eigentlich nur die gleichung mit n+1 ausgerechnet ! wie von dir verlang und dabei versucht das ganze äquivalent zu bekommen!

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)(3(n+1)^{2} +3(n+1)-1}{30} \end{eqnarray*}$
ausgerechnet
= $\begin{eqnarray*} \frac{((n)^{2}+2n+1n+2)(2n+3)(3]((n)^{2}+6n+3+3n+3-1)}{30} \end{eqnarray*}$
so nun versuche ich das ganze so hinzuschreiben das die ausgangsgleichung klar ersichtlich ist und der rest sozusagen das n+1 ist! sozusagen den beweis liefere!

( grundgleichung ) (n+1)
= $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(2n+1)(3(n)^{2}+3n-1(2n+2)(2)(6n+6)}{30} <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

das war das was ich gemacht habe

23.07.2012, 14:42

Cheftheoretiker

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Hm,

ich denke wir sollten die Aufgabe noch einmal neu durchrechnen aber dieses mal einfacher darstellen, da rechnet man sich echt zu tode.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}k^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} \end{eqnarray*}$

Nun vereinfachen wir am Anfang direkt die rechte Seite. Man erhält dann,

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}k^4=\frac{6n^5+15n^4+10n^3-n}{30} \end{eqnarray*}$

I.A.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{1}k^4=1 \end{eqnarray*}$

und,

$\begin{eqnarray*} \frac{6(1)^5+15(1)^4+10(1)^3-(1)}{30}=1 \end{eqnarray*}$

I.A. ist geglückt.

I.V. Es gilt für ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \sum_{k=1}^{n}k^4=\frac{6n^5+15n^4+10n^3-n}{30} \end{eqnarray*}$

I.S.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}k^4=\frac{6n^5+15n^4+10n^3-n}{30} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}k^4=\frac{6(n+1)^5+15(n+1)^4+10(n+1)^3-(n+1)}{30} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}k^4+(n+1)^4=\frac{6(n+1)^5+15(n+1)^4+10(n+1)^3-(n+1)}{30} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{6n^5+15n^4+10n^3-n}{30}+(n+1)^4=\frac{6(n+1)^5+15(n+1)^4+10(n+1)^3-(n+1)}{30} \end{eqnarray*}$

Ich denke mal das sieht freundlicher aus und ist auch wesentlich einfacher deren Äquivalenz zu zeigen. Bearbeite am besten die linke Seite. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.07.2012, 16:04

erste hilfe

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so nun einmal danke für deine ausführung!
so und genau da hast du mich erwischt ich bekomme die umformung nicht gebacken!! (erlich gesagt bekomme ich grad gar nicht hin)

wie hast du das vereinfacht hab jetzt drei blätter versucht nachzurechnen bekomme aber dein ergebnis nicht raus! brauchst es mir nicht nochmal vorrechnen will nur ungefähr wissen wie es geht! weil wenn ich verstehe wie es in die richtung geht sollte man normal auch die umkehr funktion hinbekommen

so zu deiner vereinfachung!

n(n+1) am anfang ! muss ich dieses n mal alle klammern nehmen?

sorry hört sich alles bisschen blöd an aber hab seit 15 jahren kein mathe mehr gemacht da fehlt manchmal etwas grundstruktur! und ich war mal nicht schlecht in dem fach!

danach alle klammern miteinander oder?

23.07.2012, 16:20

Cheftheoretiker

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Also die Grundlagen der Algebra kann ich dir hier auch nicht beibringen, das würde den Rahmen eindeutig sprengen. Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}k^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} \end{eqnarray*}$

Ich habe die rechte Seite genommen und ausmultipliziert und zusammengefasst.

$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}=\frac{(n^2+n)(6n^3+6n^2-2n+3n^2+3n-1)}{30} \end{eqnarray*}$

Und so weiter...

Zitat:

n(n+1) am anfang ! muss ich dieses n mal alle klammern nehmen?

Es gilt allgemein, $\begin{eqnarray*} a(b+c)=ab+ac \end{eqnarray*}$

In dem Fall wäre es dann, $\begin{eqnarray*} n^2+n \end{eqnarray*}$

Die Ausdrücke in der Klammer sind recht praktisch da es binomische Formeln sind. Du könntest ja mal im Netz nachschauen wie die Formeln ausgeschrieben lauten, da musst du dann nicht großartig rechnen. Deswegen meinte ich ja auch das wäre nun einfacher. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.07.2012, 14:05

erste hilfe

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danke !

nee past auch schon hab das3n zu 3n^2 gesetzt(somit waren es zwei 3n^2) deswegen immer wieder ein falsches ergebnis bekommen! blöd ich weiss! hab schon angefangen zu zweifeln!

so nun meine frage zur aufgabe : so wie du das ausgeführt hast zählt schon als beweis???
wenn ich es mal kurzfassen darf!
man nimmt die grundformel setzt für jedes n =(n+1) , der beweis sind dann die zwischenschritte. kann man das so sagen??

24.07.2012, 14:50

Cheftheoretiker

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Der Beweis per vollständiger Induktion gliedert sich in drei Schritte.

1. Induktionsanfang - Du zeigst das es für ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt.

2. Induktionsvoraussetzung. Du schreibst nochmal auf, das es für ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt.

3. Induktionsschritt. Du zeigst wenn es für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt, dann muss es auch für $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ gelten.

Das sind immer die selben drei Schritte wobei der letzte wohl der kniffligste sein kann. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.07.2012, 16:23

erste hilfe

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können wir vielleicht die grundform nochmal bearbeiten?? ich hoffe ich strapaziere dich nicht! diesmal versuche ich es dir auch einfacher zu machen!

$\begin{eqnarray*} 1^{4} + 2^{4} +...+n^{4}\sum\limits_{k=1}^n k^{4}=<br /> \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1}{30} \end{eqnarray*}$

so nun wird n=1 eingesetz und es kommt 1 raus somit stimmt die behauptung und wir müssen für den nachfolger das ganze beweisen! der nachfolger der ein ist n+1!
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^{4}+(n+1)^{4}=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1}{30 \end{eqnarray*}$

so nun muss das ganze auf einen bruch geschrieben werden dafür wird das $\begin{eqnarray*} (n+1)^{4} \end{eqnarray*}$ umgeschrieben $\begin{eqnarray*} \frac{30(n+1)^{4}}{30} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1}{30} + \frac{30(n+1)^{4}}{30} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(n+1)[n(2n+1)(3n^{2}+3n-1)+30(n+1)^{3}]}{30} \end{eqnarray*}$
hier ist (n+1) ausgeklammert worden!

$\begin{eqnarray*} = \frac{(n+1) (6n^{4}+6n^{3}-2n^{2}+3n^{3}+3n^{2}-n+30n^{3}+90n^{2}+90n+30}{30} \end{eqnarray*}$
wird zusammengerechnet

$\begin{eqnarray*} =\frac{(n+1) (6n^{4}+39n^{3}+91n^{2}+89n+30}{30} \end{eqnarray*}$
soweit ist alles klar!
jetzt kommen die schritte die ich nicht verstanden habe!
$\begin{eqnarray*} = \frac{(n+1)[(n+2)(6n^{3}+27n^{2}+37n+15)]}{30} \end{eqnarray*}$
wenn man die klammer ausrechnet kommt das richtige ergebnis ich weiss aber nicht wie es zurück gerechnet wird!! ?????????????????????
$\begin{eqnarray*} =\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)(3n^{2}+9n+5)}{30} \end{eqnarray*}$
???
das ergebnis ist eigentlich die anfangsgleichung nur das n durch n+1 ersetzt worden ist!
$\begin{eqnarray*} = \frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)(3(n+1)^{2}+3(n+1)-1}{30} \end{eqnarray*}$

so kann denke behaupten das das prinzip im grossen und ganzen angekommen ist! die umwandlung oben die mit ? gekennzeichnet sind verstehe ich grad gar nicht wie es gerechnet wird! wenn ich sie mit einander multipliziere kommt das richtige ergebnis! kann es einfach nicht ausklammern! fals es dafür einen fachbegriff gibt oder jemand mir einen ratschlag geben kann wo ich das nachlesen kann wäre ich über glücklich!!

ob ich die vollständige induktion anwenden kann wird sich zeigen werde mir ein paar übungsaufgaben suchen ( für ne seite wo ich üben kann wäre ich dankbar)
danke hangman für die zeit und mühe die du in mir geopfert hast! Respekt

Respekt

25.07.2012, 12:09

Cheftheoretiker

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Wie kommst du darauf?

Zitat:

so nun muss das ganze auf einen bruch geschrieben werden dafür wird das $\begin{eqnarray*} (n+1)^{4} \end{eqnarray*}$ umgeschrieben $\begin{eqnarray*} \frac{30(n+1)^{4}}{30} \end{eqnarray*}$

Du musst in der Summe einen Schritt weiter gehen,

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}k^4 \end{eqnarray*}$

Die rechte Seite sieht beim ersten hinschauen richtig aus. verwirrt

verwirrt

Für Aufgaben könntest du ja mal hier schauen, klick

Meistens fängt man aber mit der Gaußschen Summenformel an und versucht diese per Induktion zu beweisen.

Also, $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n k=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Viel Erfolg weiterhin. Wink

Wink

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