Unendlicher Kettenbruch als reelle Zahl schreiben

20.07.2012, 12:54	Manna8788	Auf diesen Beitrag antworten »
Unendlicher Kettenbruch als reelle Zahl schreiben Meine Frage: Hallo liebes Forum, Ich brauche eure Hilfe! Ich habe einen Kettenbruch und soll diesen als reelle Zahl schreiben. Es handelt sich um den Kettenbruch (3;1;2;1;2;1;2.... usw.). Meine Ideen: Meine Idee hierzu ist die folgende: Ich beginne mit 3 und versuche mich anzunähern. Das nächste wäre 3 + 1/1 = 4 Dann 3 + 1/ (1 +1/2) = 3 + 2/3 Die 4. Annäherung 3 + 1/ (1 + 1/( 2 + 1)) = 3 + 3/4 Hier ist es ja nun so das jede 1. Annäherung kleiner und jede 2. Annäherung größer der tatsächlichen reellen Zahl ist. In zwei weiteren Schritten komme ich auf 3 + 11/15 was 3,73737373... wäre. Ich scheine ja nun nah an der Lösung dran zu sein, aber ich habe eben nicht die genaue Zahl. Doch wie komme ich auf diese? Hat jemand eine bessere Idee? Vielen Dank für eure Antwort.
20.07.2012, 14:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} x =[3;1;2;1;2;\ldots] \end{eqnarray}$ die gesuchte Zahl, dann ist $\begin{eqnarray} x-1 = [2;1;2;1;2;\ldots] \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \frac{1}{x-3} = [1;2;1;2;\ldots] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{\frac{1}{x-3}-1} = [2;1;2;1;2;\ldots] = x-1 \end{eqnarray}$ , was sich in eine quadratischen Gleichung für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ umstellen lässt.
20.07.2012, 16:07	Manna8788	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank für die schnelle Antwort. Demnach ist x = 2 + Wurzel (3). Also war die Annäherung wie ich vermutet habe gar nicht so verkehrt. Leider war die ja aber nicht gefragt. Ich muss nur nochmal fragen wie du auf 1/(x-3) = (1;2;1;2...) kommst? Habe mir Grad nochmal Kettenbrüche angeschaut aber ich verstehe es leider nicht ganz. Der erste Schritt ist mir ja noch einleuchtend. Die größte ganze Zahl im Kettenbruch ist 3, da du bei x -1 abziehst so eben auch im Kettenbruch. Die größte ganze Zahl ist also nur noch 2. Und dann Hänge ich.
20.07.2012, 16:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn daran nicht zu verstehen? Der Ganzzahl-Anteil von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist 3, demnach ist dann $\begin{eqnarray} x-3 = [0;1;2;1;2;\ldots] = \frac{1}{{\color{red}1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\ldots}}}} \end{eqnarray}$ Und die Reziprokbildung lässt dann diese 0 verschwinden, die nachfolgenden Kettenbruch-Koeffizienten rücken um eins vor: $\begin{eqnarray} \frac{1}{x-3} = [1;2;1;2;\ldots] = {\color{red}1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\ldots}}} \end{eqnarray}$
20.07.2012, 16:51	Manna8788	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach wie blöd! Sorry! Vielen dank!

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