Verschoben! Kleinster Abstand eines Punkt zu einer Fläche

20.07.2012, 13:56	famajafri	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleinster Abstand eines Punkt zu einer Fläche Meine Frage: Hallo, hab mal ne frage: ich soll folgende aufgabe berechnen -> welcher punkt der ebene liegt dem Punkt P(2,1,1) am nächsten? Die Ebene hat folgende Gleichung z=4x-x^2+y Meine Ideen:* ich habe leider keinen ansatz. bei einer normalen ebenen gleichung nach dem schema x+y+z=9 wüsste ich wie vorzugehen ist aber hier bin ich überfragt. kann mich jemand zur lösung hinführen? danke
20.07.2012, 14:17	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die von dir angegebene Gleichung beschreibt KEINE Ebene! mY+
20.07.2012, 14:46	famajafri	Auf diesen Beitrag antworten »
tut mir leid. in der aufgabe steht ja auch fläche. es ist quasi ne gewölbte fläche. trotzdem muss die aufgabe gelöst werden
20.07.2012, 22:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Stelle als Hauptbedingung die Distanz des Punktes P zu einem allgemeinen Punkt X(x; y; z) der Fläche auf. Wenn diese ein Minimum werden soll, dann trifft dies auch für deren Quadrat zu, also musst du NICHT unbedingt die Quadratwurzel anschreiben. Als Nebenbedingung fungiert die Funktionsgleichung der Fläche. Das Extremalproblem löst man mittels Lagrange: $\begin{eqnarray} L(x, y, z, \lambda) = (x-2)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 + \lambda(-x^2 + 4x + y - z) \end{eqnarray}$ Jetzt bist du dran ... mY+ EDIT: Titel geändert und Thread verschoben.
20.07.2012, 23:33	famajafri	Auf diesen Beitrag antworten »
das klingt sehr logisch dem lösen und auf minimal und maximal werte überprüfen aber ich würde schon daran scheitern die gleichung aufzustellen mit der ich für einen beliebigen punkt den abstand zur fläche erstellen kann. ansonsten schon mal vielen dank.
21.07.2012, 00:23	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Abstand bzw. dessen Quadrat ist ja schon in der Lagrange-Funktion enthalten (es sind die ersten drei Summanden). Es gilt ganz einfach für den Abstand d zweier Punkte: $\begin{eqnarray} d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 \end{eqnarray}$ mY+
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