R als Vektorräume über Q

20.07.2012, 15:18

huberhainer

R als Vektorräume über Q

i) Wie kann man R, die Menge der reellen Zahlen, als Vektorraum über dem
skalaren Körper Q, dem Körper der rationalen Zahlen auffassen?
(Hinweis: Setzen Sie V = R setzen Sie den skalaren Körper gleich Q und
definieren Sie die zu einem Vektorraum gehörigen Operation der Addition und
der skalaren Multiplikation und zeigen Sie, dass auf diese Weise ein Vektorraum
zustande kommt.)
ii) Können Sie etwas über die Dimension des so enthaltenen Vektorraumes
sagen?

Leider kenne ich keinen Ansatz zu dieser Aufgabe. Kann mir jemand weiter helfen?

20.07.2012, 15:23

Captain Kirk

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Hallo,

die Addition im Vektorraum ist die normale Addition reeller Zahlen.
Die Skalarmultiplikation ist das normale Produkt einer rationalen und rellen Zahl.
Überzeuge dich, dass das die VR-Axiome erfüllt sind.

20.07.2012, 15:40

huberhainer

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Soll ich dann einfach zwei Vektoren addieren und multiplizieren?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.07.2012, 15:54

Captain Kirk

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Zitat:

Soll ich dann einfach zwei Vektoren addieren und multiplizieren?

Nein. Ich hab' doch genau geschrieben was du machen sollst verwirrt

Was ist daran unklar.
Hier geht es um Operationen auf den reellen Zahlen.

Löse dich von dieser vektoriellen Darstellung von Elementen eines VR. Diese funktioniert nur bei endlich-dimensionalen VR (was hier nicht der Fall ist), deine hier verwendete Darstellung gilt sogar nur für dreidimensionale VR.

20.07.2012, 16:00

huberhainer

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Also soll man nur zeigen das eine Addition und Multiplikation von zwei reellen Zahl wieder eine reelle Zahl ergibt?

Sorry ich verstehe einfach die ganze Aufgabe nicht richtig

20.07.2012, 16:27

Captain Kirk

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Du sollst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -VR ist.
(ähnlich wie $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -VR ist).

Das ist ein Bsp. eines unendlich-dimensionalen VR für den man keine Basis hinschreiben kann, das ist der Zweck der Aufgabe.

Und ja, die Überprüfung der VR-Axiome ist ziemlich banal.
(Wobei ich zugebe dass das ganze ziemlich abstrakt ist)

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