Lagrange-Multiplikationsregel

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20.07.2012, 15:40	hasle	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange-Multiplikationsregel Meine Frage: Gegeben ist f(x,y)= 2x^2-2xy+2y^2 und eine Nebenbedingung: x^2+y^2=1. Die Aufgabe soll versucht werden zu minimieren. Meine Ideen: Hierzu haben wir versucht mit der Lagrangenmultiplikationsregel $\begin{eqnarray} \wedge(x,y,\lambda )= f(x,y)+\lambda (g(x,y)-c) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(x,y)-c=x^{2}+ y^{2} -1 \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \wedge(x,y,\lambda )= 2x^{2}-2xy+2y^{2}+\lambda x^{2}+\lambda y^{2}-\lambda \end{eqnarray}$ dann haben wir die erhaltenegleichung nach x und y partiell abgeleitet und gleich 0 gesetzt. partielle ableitung nach x: $\begin{eqnarray} 4x-2y+2\lambda x=0 \end{eqnarray}$ nach y: $\begin{eqnarray} 4y+2\lambda y-2x=0 \end{eqnarray}$ nach lambda: $\begin{eqnarray} x^{2}+y^{2}-1 =0 \end{eqnarray}$ wie müssen wir jetzt weitermachen?danke
20.07.2012, 17:56	nichteingeloggt	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange-Multiplikationsregel nach x, y und lambda umformen
20.07.2012, 21:35	hasle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange-Multiplikationsregel hab ich auch schon gemacht : x=y/(2+lambda) und y=x/(2+lambda) wenn ich das jetzt in die ableitung nach lambda einsetze kriege ich irgendnen hölenterm raus mit dem ich nicht weiß was ich anfangen soll. ich kann ihn zwar nach lambda auflösen erhalte dann *$\begin{eqnarray} </b><br /> \lambda =2\pm \sqrt{7}<br /> <b> \end{eqnarray}$* aber ich weiß dann nicht was ich damit anfangen soll. etwa wieder oben einsetzen und dann habe ich 2 gleichungen die jeweils nur noch von x und y abhängig sind?
20.07.2012, 22:17	carm561	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange-Multiplikationsregel Schreib doch mal, wie du auf das $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ kommst. Bei mir ist es deutlich handlicher, sprich ganzzahlig.
20.07.2012, 23:27	hasle	Auf diesen Beitrag antworten »
also wie gesagt ich setzte $\begin{eqnarray} y=\frac{x}{2+\lambda \lambda } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=\frac{y}{2+\lambda \lambda } \end{eqnarray}$ in x^2+y^2-1=0 ein. erhalte dann $\begin{eqnarray} \frac{x^{2} }{4+4\lambda +\lambda ^{2} } + \frac{y^{2} }{4+4\lambda +\lambda ^{2} } -1=0 \end{eqnarray}$ forme das um und erhalte $\begin{eqnarray} x^{2} +y^{2}-4-4\lambda -\lambda ^{2} =0 \end{eqnarray}$ ersetzte dann das x^2+y^2 durch die 1 aufgrund der nebenbedingung und erhalte dann $\begin{eqnarray} -3-4\lambda -\lambda ^{2} =0 \end{eqnarray}$ und dann dementsprechend $\begin{eqnarray} \lambda 1,2 = 2\pm \sqrt{7} \end{eqnarray}$ . aber wenn du sagst das du was glattes rausbekommst ist bei mir bestimmt nen fehler drin zu mal ich das auch nur gerechnet habe weil ich sonst nicht wusste was man rechnen soll. aber irgendwie macht das für mich auch nicht so sinn was ich da gemacht habe. danke
20.07.2012, 23:30	hasle	Auf diesen Beitrag antworten »
oben soll im nenner nur ein lambda stehen und nicht lambda mal lambda
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20.07.2012, 23:39	carm561	Auf diesen Beitrag antworten »
Die quadratische Gleichung stimmt noch, die Lösung ist falsch.
20.07.2012, 23:44	hasle	Auf diesen Beitrag antworten »
oh man stimmt ja. jetzt seh ichs. würde dann -2 +1 und -2-1 rausbekommen also -1 und -3 und nun?
20.07.2012, 23:50	carm561	Auf diesen Beitrag antworten »
Einsetzen. Z.B. in die partielle ableitung nach x. Das liefert Beziehungen zwischen x und y, die sich dann mit der Randbedingung x^2+y^2=1 verwerten lassen. Und ja, es geht viel einfacher - ganz ohne Lagrange.
20.07.2012, 23:52	hasle	Auf diesen Beitrag antworten »
okay. dann hätte ich den einen weg vermutlich verstanden. wäre dir sehr dankbar wenn du mir den anderen, schnelleren weg auch verrätst. danke
21.07.2012, 00:09	carm561	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, wenn du meinst. Zwei Möglichkeiten: 1. $\begin{eqnarray} f(x,y)=2x^2-2xy+2y^2 = x^2+y^2+(x-y)^2 = 1 +(x-y)^2 \end{eqnarray}$ . Jetzt musst dir nur noch überlegen, wann das minimal ist und dann noch die Nebenbedingung verwenden. 2. Lt. Nebenbedingung suchst du auf dem Einheitskreis. Dort ist $\begin{eqnarray} x=\cos(\varphi), y=\sin(\varphi) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} f(x,y)=2-2xy=2-2\cos(\varphi)\sin(\varphi)=2-\sin(2\varphi) \end{eqnarray}$ .

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