Berechnung einer Wahrscheinlichkeit

20.07.2012, 17:41

Gast0101

Berechnung einer Wahrscheinlichkeit

Hallo Mathe-Forum,

beim Durchgehen von Musterklausuren für meine anstehende Prüfung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um Hilfe Augenzwinkern

Seien $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und X eine reelwertige Zufallsvariable über einem Wahrscheinlichkeitsraum mit
$\begin{eqnarray*} P(X= -1)= P(X=1)= \frac{1}{2k^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X=0)=1-\frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ .

a) Berechnen Sie E(X) und Var(X).

b) Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} P(|X-\alpha | \geq k\beta \end{eqnarray*}$ .
Wobei alpha=E(X) und beta=Var(X).

So habe ich nun E(X) bestimmt:

$\begin{eqnarray*} E(X)=- 1\frac{1}{2k^2} +\frac{1}{2k^2} +0*(1-\frac{1}{k^2} ) = 0 \end{eqnarray*}$ .
Var(X)=0 ebenfalls.

Stimmts soweit? Nun komme ich zu meinem eigentlichen Problem und das ist b):
Habe jetzt die Formel umgestellt:
$\begin{eqnarray*} P(| X | \geq 0)=1-P(|X| <0) \end{eqnarray*}$
Daraus würde folgen, dass die W-keit =1 ist, da $\begin{eqnarray*} P(|X| <0)=0 \end{eqnarray*}$ , also ein unmögliches Ereignis wäre, weil Betrag immer positiv ist....Oder ist das falsch?

Gast´0101

20.07.2012, 17:49

Math1986

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RE: Berechnung einer Wahrscheinlichkeit

Zitat:

Original von Gast0101

So habe ich nun E(X) bestimmt:

$\begin{eqnarray*} E(X)=- 1\frac{1}{2k^2} +\frac{1}{2k^2} +0*(1-\frac{1}{k^2} ) = 0 \end{eqnarray*}$ .
Var(X)=0 ebenfalls.

Erwartungswert stimmt, Varianz nicht. Insofern hat es jetzt keinen Sinn, über b) zu reden.

20.07.2012, 18:01

Gast0101

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Ja, dachte ich mir auch, dass es so nicht sein kann.

Habe jetzt nochmal gerechnet, musste ja meine X im Quadrat ausrechnen, dann komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} Var(X)= 1\frac{1}{2k^2} +\frac{1}{2k^2} =\frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$

Nun dann erhalte ich für b)

$\begin{eqnarray*} P(| X | \geq \frac{1}{k} )=1-P(| X | <\frac{1}{k}) =1-P(-\frac{1}{k}<X<\frac{1}{k}) \end{eqnarray*}$

Wie soll man dann weitermachen, was wendet man da an?

20.07.2012, 18:12

Math1986

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Zitat:

Original von Gast0101
Ja, dachte ich mir auch, dass es so nicht sein kann.

Habe jetzt nochmal gerechnet, musste ja meine X im Quadrat ausrechnen, dann komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} Var(X)= 1\frac{1}{2k^2} +\frac{1}{2k^2} =\frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$

Soweit richtig.

Zitat:

Original von Gast0101
Nun dann erhalte ich für b)

$\begin{eqnarray*} P(| X | \geq \frac{1}{k} )=1-P(| X | <\frac{1}{k}) =1-P(-\frac{1}{k}<X<\frac{1}{k}) \end{eqnarray*}$

Wie soll man dann weitermachen, was wendet man da an?

Kannst du $\begin{eqnarray*} ]\frac 1k \end{eqnarray*}$ irgendwie abschätzen?

20.07.2012, 18:16

Gast0101

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Da man k aus der Menge der natürlichen Zahlen gegeben hat, kann man 1/k mit kleiner gleich 1 abschätzen. Inwiefern bringt mich das weiter? Ich kriege dann ja keine genaue Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit oder?

20.07.2012, 18:19

Math1986

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Doch, denn X kann nur Werte aus {-1,0,1} annehmen, insofern ist die Sache so ziemlich einfach smile

Du hast nur drei mögliche Werte. Welche dieser Werte erfüllen demnach die Ungleichung
$\begin{eqnarray*} |X|\geq\frac 1k \end{eqnarray*}$ ?

20.07.2012, 18:23

Gast0101

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Oh mann, ich hätte wirklich auf den Träger achten müssen. Hab schon gesessen und gedacht, ohje da kommt was auf mich Augenzwinkern

Also relevant sind -1 und 1 und Wahrscheinlichkeit ist demnach 1/k^2, so? Augenzwinkern

20.07.2012, 18:32

Math1986

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20.07.2012, 18:36

Gast0101

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Vielen, vielen Dank smile

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