Unbestimmtes Integral: Quotient integrieren aber wie?

20.07.2012, 20:06

dievi

Unbestimmtes Integral: Quotient integrieren aber wie?

Meine Frage:
Hallo liebe Matheprofis! smile

heute mal was zu den unbestimmten Integralen!
In der Uni haben wir im Skript nur 3 Regeln zur Integration aufgeschrieben die das integrieren einer Potenz , den ln(x) und die e-fkt. betreffen.
einfaches Integrieren mit Addition hatte ich bereits und kann ich, wie aber sieht es denn bei einer Integralfkt eines Quotienten aus? gibt es da auch bestimmte Regeln so wie beim Ableiten die Quotientenregel??

$\begin{eqnarray*} \int \!\frac{x²-3x+41}{2x} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe schon im Internet etwas von einer partiellen Integration gelesen, die allerdings ist nirgendwo Thema in unserem Skript! Es muss also auch für mich einen einfacheren verständlicheren Weg geben diese Aufgabe zu lösen! Könnt ihr mir bitte anhand des Beispiels zu einer allgemein anwendbaren Lösung verhelfen?

20.07.2012, 20:08

Mulder

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RE: unbestimmtes Integral: quotient integrieren aber wie?
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-3x+41}{2x} = \frac{1}{2}x -\frac{3}{2} + \frac{41}{2} \cdot \frac 1 x \end{eqnarray*}$

Einfach summandenweise integrieren. Machst du so doch im Schlaf, oder? Augenzwinkern

20.07.2012, 20:09

Helferlein

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Da reicht einfaches Auseinandernehmen des Bruches:

$\begin{eqnarray*} \frac {x^2-3x+41}{2x}=\frac{x^2}{2x}-\frac{3x}{2x}+\frac{41}{2x} \end{eqnarray*}$

Edit: Zuschlag geht an Mulder. Wink

20.07.2012, 20:18

dievi

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ayoo logens auseinanderziehen is verständlich aber wie integriere ich brüche? betrachte ich generll nur den zähler zum integrieren? oder den nenner??

20.07.2012, 20:37

Mulder

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Zitat:

Original von dievi
ayoo logens auseinanderziehen is verständlich aber wie integriere ich brüche? betrachte ich generll nur den zähler zum integrieren? oder den nenner??

Diese Frage finde ich jetzt sehr eigenartig, da ihr deinen eigenen Worten zufolge die Regeln zu Potenzfunktionen und auch den Fall, der auf den ln(x) führt, bereits hattet. Nichts anderes brauchst du hier.

Konstante Vorfaktoren bleiben wie beim Ableiten einfach als solche erhalten.

20.07.2012, 21:35

die-vi

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Wir haben als integrationsregel
Von ln nur folgende form gehabt : lnx dx --> x ln x -x + C
Aber wie man darauf kommt weiß ich nicht mehr steht da als regel nicht ebenso kurz sind die amderen gehalten

20.07.2012, 21:55

Mulder

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Selber herleiten kann man sich das mit partieller Integration. Brauchen wir hier aber sowieso nicht. Du brauchst nur

$\begin{eqnarray*} \int x^n \, \dd x = \frac{1}{n+1} x^{n+1}+C \, \, \, , \, \, \, n \neq -1 \end{eqnarray*}$

Und eben

$\begin{eqnarray*} \int \frac 1 x \, \dd x = \ln(x)+C \end{eqnarray*}$

Und das wird drangewesen sein...

21.07.2012, 17:31

dievi

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oke dann würde ich jetzt wie folgt rechnen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+1}*\frac{1}{2}x² - \frac{1}{1+1}*\frac{3}{2}x² +... \end{eqnarray*}$

nur beim ... komme ich nicht weiter wie soll ich 41/2x mit dem ln rechnen? ich weiß ja nur dass das integral 1/x dx --> ln (x) + C wird..
ist dann 41/2x--> 41 ln (2x) oder wie?

21.07.2012, 18:49

Cheftheoretiker

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Hi,

du kannst auch $\begin{eqnarray*} \frac{41}{2x} \end{eqnarray*}$ schreiben als $\begin{eqnarray*} \frac{41}{2}\cdot\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ . Jetzt kannst du integrieren. Augenzwinkern

Viele Grüße, hangman. Wink

22.07.2012, 00:25

Helferlein

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@dievi: Der zweite Term stimmt nicht. Wie integrierst Du 3/2 ?

@hangman: Das hat Mulder doch oben schon längst geschrieben.

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