Grenzwert und Stetigkeit der Funktion 1 für x =0 und 0 für sonstige

20.07.2012, 23:58	Manna8788	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert und Stetigkeit der Funktion 1 für x =0 und 0 für sonstige Meine Frage: Hallo, Habe folgende möglicherweise sehr simple Frage: Die Aufgabe ist folgende: Betrachte Funktion f(x) = 1 ; x = 0 und f (x) = 0 für alle anderen x-Werte Nun die Frage welchen Grenzwert hat die Funktion an der Stelle 0? und ist die Funktion stetig? Meine Ideen: Also ganz offensichtlich scheint die Funktion nicht stetig zu sein. Ich beantworte es mal mit der nicht sehr mathematischen Faustregel: Sie kann nicht gezeichnet werden ohne den Stift abzusetzen. Der Grenzwert ist ja möglicherweise 0, da wenn ich mich von rechts und von links nähere der Wert gegen 0 geht. nur an der Stelle 0 springt er dann auf 1. Ist das schon alles dann? Oder ist die Aufgabe unheimlich kompliziert und ich mach es mir grad viel zu einfach? Ich kann mir nicht vorstellen, dass es so einfach ist?
21.07.2012, 00:06	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert und Stetigkeit der Funktion 1 für x =0 und 0 für sonstige Hi, Punktstetigkeit ist über den Grenzwert definiert. $\begin{eqnarray} l \lim_{x\to c}f(x)=r \lim_{x\to c}f(x)=f(c) \end{eqnarray}$ Dann ist die Funktion in dem Punkt stetig. Probier das doch mal bei deinem Beispiel aus. Viele Grüße, hangman.
21.07.2012, 00:21	Manna8788	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort. Also ist die Funktion wie vermutet nicht stetig. Da 0 = 0 = 1 Und der Grenzwert ist doch 0, weil hier die Annäherung von links und rechts entscheidend ist und nicht der tatsächliche Funktionswert von 1 oder? Und dann war es doch so einfach ;-) Danke!!!
21.07.2012, 00:24	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion ist doch $\begin{eqnarray} f(x)=1 \end{eqnarray}$ Also, $\begin{eqnarray} l \lim_{x\to 0}f(x)=l \lim_{x\to 0}1=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r \lim_{x\to 0}f(x)=r \lim_{x\to 0}1=1 \end{eqnarray}$ unf $\begin{eqnarray} f(1)=1 \end{eqnarray}$ Also ist die Funktion in dem Punkt stetig.
21.07.2012, 00:30	Manna8788	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein die Funktion ist doch geteilt. Nur an der Stelle x = 0 gilt f(x)=1 Ansonsten immer f(x) = 0 für alle x ohne x = 0 D.h. doch wenn ich mich von links oder rechts nähere bin ich doch nie im Punkt 0 und habe immer f(x)=0 Nur im Punkt 0 selbst gilt f(0) = 1 Entweder habe ich mich undeutlich in der Aufgabenstellung ausgedrückt oder es ist zu spät zum konzentrierten denken
21.07.2012, 00:47	Alive-and-well	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion ist nicht stetig.... Wenn du die Funktion betrachtest $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0^+} f(x) \end{eqnarray}$ ist der "Wert von x" ja etwas größer als 0 (nur infinitesimal aber trotzdem) und laut deiner Definition ist die Funktion gleich null wenn x ungleich 1 ist also gilt : $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) \neq f(0) = 1 \end{eqnarray}$ Die frage ist, was heißt das für die Funktion?!?!?!?!?
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