Umstellen nach x, Bernoulli Caius-Beispiel

21.07.2012, 04:33

Jessy0707

Umstellen nach x, Bernoulli Caius-Beispiel

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Frage zur Lösung der folgenden Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[100]{\left(x+10000\right)^{95} *x^{5} } = x+9200 \end{eqnarray*}$

Die Gleichung soll nach x aufgelöst werden.

Meine Ideen:
Habe bereits mehrere Ansätze probiert und komme leider nicht zum Ergebnis. Für Hilfestellungen bin ich sehr dankbar.

21.07.2012, 10:41

Mystic

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RE: Umstellen nach x, Bernoulli Caius-Beispiel
Ich würde mal aus der linken Seite der Gleichung x+10000 herausheben, wodurch sich das alles schon einmal etwas vereinfacht...

21.07.2012, 11:09

Jessy0707

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RE: Umstellen nach x, Bernoulli Caius-Beispiel
x+10000 herausheben? Wie soll das gehen? Würde mich freuen, wenn Du Deine Antwort näher erläutern könntest. Vielen Dank.

***Hatte bislang immer versucht, zunächst die Wurzel wegzubekommen, dann "wie wild" umgestellt, aber ich kann die Terme nicht zusammenfassen, da sowohl die Exponenten als auch die Basis der jeweiligen Terme unterschiedlich sind. Kommt man mit Logarithmieren weiter? Ich weiß es wirklich nicht und wäre für ausführliche Lösungshinweise sehr dankbar.

21.07.2012, 13:43

Mystic

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RE: Umstellen nach x, Bernoulli Caius-Beispiel
Ok, zunächst einmal glaube ich nicht, dass man diese Gleichung exakt lösen kann, aber man kann sie zumindestens etwas "verschönern", bevor man sie einer näherungsweisen Lösung (z.B. mit Newtonmethode) zuführt... Und ja, herausheben von x+10000 auf der linken Seite bietet sich da offensichtlich an, was bitte soll daran unklar sein? verwirrt

$\begin{eqnarray*} (x+10000)\sqrt[100]{\frac {x^5}{(x+10000)^5}}=x+9200 \end{eqnarray*}$

was man dann auch sofort als

$\begin{eqnarray*} \sqrt[20]{\frac x{x+10000}}=\frac {x+9200}{x+10000} \end{eqnarray*}$

schreiben kann... Dies kann man weiter umformen zu

$\begin{eqnarray*} \sqrt[20]{1-\frac {10000}{x+10000}}=1-\frac {800}{x+10000} \end{eqnarray*}$

was doch bereits ein bißchen netter aussieht, oder nicht? Augenzwinkern

Ich würde es dann mal mit der quadratischen Näherung $\begin{eqnarray*} (1+u)^\alpha \approx 1+\alpha u+\alpha(\alpha-1)u^2/2 \end{eqnarray*}$ für |u|<1 versuchen, ob da bereits was "Vernünftiges" dabei herauskommt... verwirrt

Edit: Obiger Ansatz mit der quadratischen Näherung scheint nicht "zielführend" zu sein, offenbar braucht man da mehr Glieder der Reihe... Da kann man dann aber gleich versuchen,

$\begin{eqnarray*} (1-u)^{0.05}=1-0.8 u \end{eqnarray*}$

mit u=10000/(x+10000) näherungsweise zu lösen und daraus dann x zu errechnen...

21.07.2012, 14:40

Jessy0707

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RE: Umstellen nach x, Bernoulli Caius-Beispiel
Hallo,

bin auch schon auf die folgende Verinfachung gekommen:

$\begin{eqnarray*} \left(x+10000\right)^{19} *x = \left(x+9200\right)^{20} \end{eqnarray*}$ .

Fällt Dir vielleicht hierzu ein anderer Lösungsweg ein?

Nochmals vielen Dank für die ausführlichen Erklärungen.

21.07.2012, 15:41

Mystic

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RE: Umstellen nach x, Bernoulli Caius-Beispiel

Zitat:

Original von Jessy0707
Hallo,

bin auch schon auf die folgende Verinfachung gekommen:

$\begin{eqnarray*} \left(x+10000\right)^{19} *x = \left(x+9200\right)^{20} \end{eqnarray*}$ .

Fällt Dir vielleicht hierzu ein anderer Lösungsweg ein?

Hm, und du denkst, das sei echt einfacher, als obige Gleichung

$\begin{eqnarray*} (1-u)^{0.05}=1-0.8 u \end{eqnarray*}$

oder anders angeschrieben

$\begin{eqnarray*} (1-0.8u)^{20}=1-u \end{eqnarray*}$

wobei man dann x aus

$\begin{eqnarray*} x=10000/u-10000 \end{eqnarray*}$

sofort bekommt?... Mit Sicherheit nicht!... geschockt

Und ich glaube auch nicht, um es nochmals zu sagen, dass da ein Weg an einer näherungsweisen Lösung (z.B. mit Newton) vorbeiführt...

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