Schnittgerade

31.01.2007, 11:40

Kiara88

Schnittgerade

Huhu!

bearbeite gerade einen Multiple-Choicetest, bei dem ich die Schnittgerade aus den Ebenen E1 durch A(-2|3|4), B (0|4|3), C(-3|6|8) und E2 durch P(3|3|4), Q(7|0|2) und R(7|2|6) bestimmen soll. Vorgegeben sind diese Möglichkeiten:

a) $\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Habe jetzt also erstmal die beiden Parametergleichungen der Ebenen aufgestellt:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\-1 \\ 2 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ -2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die beiden Ebenen gleichgesetzt und das hier rausbekommen:
$\begin{eqnarray*} t=-\frac{5}{7}u-\frac{5}{7} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das nun in E2 einsetzte bekomme ich diese Gerade heraus:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ 26 \\ 18 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ 46 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist zwar sicherlich auch eine Schnittgerade (oder es liegt ein Rechenfehler vor) aber ich kann ja nun immer noch nciht sagen, welche von den Oben die Richtige ist.

Hat einer von euch vielleicht ne andere Idee oder erkennt den Fehler?
Liebe Grüße,

Kiara

31.01.2007, 12:12

tigerbine

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RE: Schnittgerade

Zitat:

Original von Kiara88
Huhu!

$\begin{eqnarray*} E_1:~ A(-2|3|4), B (0|4|3), C(-3|6|8) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_2:\ P(3|3|4), Q(7|0|2), R(7|2|6) \end{eqnarray*}$

Gesucht: Schnittgerade

a) $\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_1:~\vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Freude

$\begin{eqnarray*} E_2:~\vec{x} = \begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\-1 \\ 2 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ -2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Freude

Den Schnitt muss ich noch rechnen.

31.01.2007, 12:27

Bjoern1982

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Hallo

Zitat:

$\begin{eqnarray*} t=-\frac{5}{7}u-\frac{5}{7} \end{eqnarray*}$

Das ist richtig, du hast dich wohl beim Einsetzen verrechnet.

Gruß Björn

31.01.2007, 15:36

Kiara88

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Danke!
Huhu!

Danke schonmal für deine Mühe! Aber setzt das doch mal ein... da kommt nicht das passende raus...

31.01.2007, 15:51

tigerbine

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RE: Danke!
$\begin{eqnarray*} E_2:~\vec{x} = \begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\-1 \\ 2 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ -2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=-\frac{5}{7}u-\frac{5}{7} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g:~\vec{x} = \begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + (-\frac{5}{7}u-\frac{5}{7}) \begin{pmatrix} 4 \\-1 \\ 2 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}-\frac{5}{7}\begin{pmatrix} 4 \\-1 \\ 2 \end{pmatrix}+u(\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ -2\end{pmatrix}-\frac{5}{7}\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g:~\vec{x} =\begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}-\frac{5}{7}\begin{pmatrix} 4 \\-1 \\ 2 \end{pmatrix}+\frac{u}{7}(\begin{pmatrix} 8 \\ -16 \\ -24\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}-\frac{5}{7}\begin{pmatrix} 4 \\-1 \\ 2 \end{pmatrix}+\frac{8u}{7}(\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3\end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

31.01.2007, 16:34

Kiara88

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Ja genau! und da kommt doch keine von den lösungen raus! ---> Multiple Choice

31.01.2007, 16:37

tigerbine

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Also den Aufpunkt rechne ich jetzt nicht nach...

Schauen wir uns den Richtungsvektor an:

$\begin{eqnarray*} \frac{8u}{7}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3\end{pmatrix}=c\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also da kommt dann doch was in Frage.. Man muss eben noch zeigen, dass der Aufpunkt drinne liegt.

31.01.2007, 16:40

Kiara88

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Ok, dankeschön!

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