Eigenwert, Eigenvektoren Matrix diagonalisierbar

21.07.2012, 11:17

huberhainer

Eigenwert, Eigenvektoren Matrix diagonalisierbar

Zur Wiederholung: Ein (als Spaltenvektor geschriebener) Vektor x heißt Eigenvektor
der Matrix A zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , wenn
A · x = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ * x
Zeigen Sie, wenn eine (n; n)-Matrix A n linear unabhängige Eigenvektoren xi
zu den Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ i besitzt, dann gibt es eine (n; n)-Matrix T und eine Diagonalmatrix
D, so dass T^-1 · A · T = D. Dann ist m.a.W. A “diagonalisierbar”.
Hinweis: Konstruieren Sie die Matrix T durch eine geeignete Aggregation der
Eigenvektoren xi und bilden Sie D mit Hilfe der Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ i auf der Diagonalen.

Wie ist der Ansatz?

21.07.2012, 12:09

DP1996

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Schreib die linear unabhängigen Eigenvektoren als Spaltenvektoren in die Matrix T, dann überlege dir, ob T auch tatsächlich invertierbar ist.

Als nächstes nimmst du dir dann einen Vektor $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ der Standardbasis her ud multiplizierst den rechts ran, berechnest also $\begin{eqnarray*} T^{-1}ATe_i=T^{-1}\left(A\left(Te_i\right)\right) \end{eqnarray*}$ .

21.07.2012, 15:58

huberhainer

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Das verstehe ich immer noch nicht.

21.07.2012, 16:27

DP1996

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Zitat:

Schreib die linear unabhängigen Eigenvektoren als Spaltenvektoren in die Matrix T, dann überlege dir, ob T auch tatsächlich invertierbar ist.

Also zumindest das solltest du verstehen.

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Eigenwert, Eigenvektoren Matrix diagonalisierbar

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