LGS und lineare Un-/Abhängigkeit

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Darky23 Auf diesen Beitrag antworten »
LGS und lineare Un-/Abhängigkeit
Meine Frage:
Aufgabe 1): Beschreiben Sie was der Begriff "Lineare Unabhängigkeit" dreier Vektoren im R3 mit der Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems zu tun hat!

Aufgabe 2): Gegeben sind die Vektoren a=(2,3,2),b=(3,4,1),c=(2,4,6) und d=(2,3,?3)

a) Zeigen Sie, dass ein mit a,b und c als Koeffizientenvektoren und d als Ergebnisvektor aufgestelltes Gleichungssystem keine Lösung hat!

b) Welchen Wert müsste d1 haben, damit sich nun ein Gleichungssystem mit beliebig vielen Lösungen ergibt?

c) Berechnen Sie eine dieser Lösungen!

Meine Ideen:

Ich habe keinen Ansatzpunkt deswegen verstehe ich die Aufgaben nicht weil sie aufeinander aufbauen.
Bitte um Hilfe.
original Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algebra
->

http://www.onlinemathe.de/forum/Lineare-Algebra-154

Wink
 
 
Darky23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algebra
Hey danke für den Link aber dem wird nicht geholfen kannst du mir helfen?
Hunter Sweetwater Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algebra
Zu 1.)
Stell dir mal folgende Frage: Welche Ergebnisse können beim Lösen eines Linearen Gleichungssystems mit 3 Gleichungen auftreten?
Wie muss ein Gleichungssystem denn beschaffen sein, damit die verschiedenen Fälle auftreten?

Dann übertrage diese Erkenntnis auf die Definition von linearer Unabhängigkeit. Dann sollte dir ein Licht aufgehen. smile

PS Ich bin mir nicht ganz sicher ob wir noch von Schulmathematik reden und ob ich bei meinen Erklärungen daher den Begriff Rang einer Matrix benutzen darf oder nicht.
Ach so und ist dir eigentlich klar, was mit Koeffizientenmatrix und Ergebnisvektor gemeint ist? Sonst müsste ich mit der Erklärung schon etwas früher einsteigen.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algebra
@Hunter Sweetwater
Da du neu im Board bist, hier ein wenig Information zum Thema Crossposting: Der Link von original weist auf einen inhaltsgleichen Thread in einem anderen Board hin.
Da auch der Titel gleich ist und hier ein C&P Fehler aufgetreten ist, kann man davon ausgehen, dass es sich um einen einzigen Fragesteller handelt.

Normalerweise wird bei Crossposting geschlossen, weil der Fragesteller in der Regel sich nur noch in einem der angeschriebenen Boards meldet und der Helfer im anderen Board vergeblich auf eine Antwort wartet.

Da du nun Bescheid weißt, überlassen wir es dir, ob du weiter helfen willst und lassen den Thread offen.

Übrigens: Im anderen Board erklärt der Fragesteller, dass er in die 11. Klasse geht. Augenzwinkern
Hunter Sweetwater Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algebra
@sulo

Danke für die Info.
Da mich die Antwort nicht viel gekostet hat und im anderen Board ja niemand antwortet, will ich mal nicht so sein. Meldet sich Darky23 noch einmal, werde ich helfen.
Prinzipiell schließe ich mich eurer Haltung bezüglich des Crossposting an. Ich kann es auch nicht leiden, keine Antwort zu erhalten.

LG Hunter
Darky23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algebra
Hey danke für eure schnelle Hilfe.

Also zu "Hunter Sweetwater" Ich glaube in einem Gleichungssystem mit 3 Variablen können die Ergebnisse 0, ungleich und gleich sein.
__________________________________________________________________

Und nein Koeffizientenvektor und Ergebnisvektor verstehe ich nicht
__________________________________________________________________

Also bei 2.) verstehe ich das es ein Gleichungssystem sein muss nur weiss ich nicht wie ich es erstellen soll. D. h wo die Zahlen hingehören.

edit von sulo: 3fach Post zusammengefügt.
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algebra
Hi,

vielleicht als Anmerkung, es handelt sich dabei um ein inhomogenes LGS. D.h. das LGS muss nicht lösbar sein.

Es gibt also die Fälle: lösbar, lösbar und unendlich viele Lösungen, nicht lösbar.


Viele Grüße, hangman. Wink
Hunter Sweetwater Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algebra
Ok also dann erstmal zu den Lösungsmöglichkeiten eines LGS.
Es kann genau eine Lösung für die drei Unbekannten geben, es kann unendlich viele Lösungen geben, oder es existiert keine einzige Lösung.

Um das ganze etwas zu veranschaulichen will ich, dass du dir das LGS in R³ als Schnittmenge einer Ebene und einer Geraden Vorstellst. Die Ebene ist unendlich groß und die Gerade hat weder Anfang noch ende.
Achtung, das ganze hat jetzt nicht unbedingt etwas mit deinen Vektoren zu tun, aber will man den oben beschriebenen Sachverhalt berechnen, erhält man tatsächlich ein LGS mit 3 Unbekannten.

Wenn die Gerade die Ebene in einem Punkt schneidet, so besitzt das zugehörige LGS genau eine Lösung, nämlich die Punktkoordinaten von dem Durchstoßpunkt.
Stell dir nun einmal vor, die Gerade würde in einem gewissen Abstand parallel zu der Ebene verlaufen. Dann würde kein Schnittpunkt der beiden existieren und das LGS wäre nicht lösbar.
Würde man jetzt diese parallele Gerade direkt in die Ebene hinein verschieben, dann gäbe es unendlich viele Schnittpunkte (alle lägen auf der Gerade).
Das LGS hätte also unendlich viele Lösungen, da das Ergebnis immer noch von einer Variablen Abhängig ist. Letzteres bezeichnet man auch als ein Unterbestimmtes LGS, da zB eine Gleichung ein Vielfaches einer anderen Gleichung ist.

Jetzt zu deinem Gleichungssystem. Nehmen wir einmal an, die Lösungsmenge sei (x,y,z), dann könnte man mit den 3 Koeffizientenvektoren und dem Ergebnisvektor ein Gleichungssystem aufstellen. Ich mache das mal ohne eine Matrix, da ich mir nicht sicher bin, ob ihr das überhaupt behandelt habt.



In Aufgabe a sollst du ja die Unlösbarkeit des LGS aufzeigen. Das sollte dir nun mittels Additionsverfahren möglich sein.

Ich warte mal ab, was du heraus bekommst.

LG Hunter
Hunter Sweetwater Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algebra
Ich habe gerade bemerkt, dass die 3. Komponente des Ergebnisvektors d ein anderes Vorzeichen haben soll. Das musst du natürlich vorher abändern.



PS:
Ich mache mir gerade Gedanken zum Aufgabenteil b. Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich es dir am besten erklären soll.
Kannst du mit folgenden Begriffen etwas anfangen?
Matrix, Determinante, Rang
Darky23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Algebra
Hallo Hunter Sweetwater Matrix sagt mir was Determinante und Rang aber nicht ich rechne mal das Gleichungssystem aus.
__________________________________________________________________

Also ich habe das ausgerechnet und komme auf den Widerspruch 0=75 stimmt das?
__________________________________________________________________

ich meine MINUS 75

edit von sulo: 3fach Post zusammengefügt.
Hunter Sweetwater Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Ok das ganze bezieht sich auch eher auf den Teil b, zu dem ich bisher noch nichts geschrieben habe. Ohne Begriffe wie Rang und erweiterte Koeffizientenmatrix wird es allerdings deutlich schwerer zu erklären. Mit diesen Begriffen sieht man die Lösung auf einen Blick. Ich muss mich dann halt an lineare Unabhängigkeit halt, auch wenn das komplizierter wird.

Versuch erst einmal das LGS zu lösen und interpretiere vor allem das Ergebnis richtig.
__________________________________________________________________

Der Widerspruch ist erst mal richtig. Wie viele Lösungen besitzt also das LGS?

edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.
Darky23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Ähm keine?
Hunter Sweetwater Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Ja genau.
Sorry habe vergessen umzublättern, deswegen hat es so lange gedauert Augenzwinkern
__________________________________________________________________

Jetzt versuchen wir mal die Lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren a,b und c zu untersuchen.
Folgendes gilt zu beachten:
  • In R³ sind mehr als 3 Vektoren automatisch linear abhängig. (trifft nicht zu, da d ja nicht dazu zählt)
  • Die 3 Vektoren sind linear abhängig, wenn eine Linearkombination existiert, die Verschwindet(den Nullvektor ergibt). Dabei dürfen die Koeffizienten nicht alle gleichzeitig Null sein. Folgende Gleichung ist also zu lösen.



Im Grunde entspricht dieses LGS genau dem, das du eben gelöst hast, nur dass auf der rechten Seite nicht der Vektor d sondern der Nullvektor steht.
Du kannst also eigentlich ohne erneute Rechnung entscheiden, welche Lösung das neue LGS hat und ob die 3 Vektoren linear abhängig sind oder nicht.

Versuch das mal.

edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.
Darky23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Ähm ok ich stehe gerade ein bisschen auf dem Schlauch das ist jetzt Aufgabe 4 b)?

Und wie muss ich vorgehen?
__________________________________________________________________

Ich meine 2b)

edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.
Hunter Sweetwater Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Naja 2b ist es auch noch nicht ganz. Bei Aufgabe 1 solltest du doch den Zusammenhang zwischen der Linearen Unabhängigkeit bei den Koeffizientenvektoren und der Lösbarkeit des LGS untersuchen.

Genau das machen wir jetzt.
Du löst das LGS und bekommst nicht lösbar heraus.
Jetzt sollst du die Vektoren auf lineare Unabhängigkeit überprüfen, um einen Zusammenhang zu erkennen.
__________________________________________________________________

Wenn es für das Gleichungssystem von weiter oben eine eindeutige Lösung gibt, dann sind die Vektoren unabhängig. Gibt es keine eindeutige Lösung, sind sie abhängig.


edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.
Darky23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Aufgabe 1): Beschreiben Sie was der Begriff "Lineare Unabhängigkeit" dreier Vektoren im R3 mit der Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems zu tun hat!

Es ist wahrscheinlich ein Missverständnis aber Aufgabe 1 hat nichts mit Aufgabe 2 zu tun. Also das Gleichungssystem ist allgemein und nicht das von Aufgabe 2.
Hunter Sweetwater Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Doch Aufgabe 2 ist ein spezieller Anwendungsfall für das was du in Aufgabe 1 erklären solltest.
Da du 1. aber nicht beantworten kannst, habe ich gedacht wir fangen mit Aufgabe 2 an und du ziehst dann daraus die Schlüsse für Aufgabe 1.
__________________________________________________________________

Deshalb solltest du ja auch das komplette LGS lösen und nicht, wie eigentlich gefordert war, nur mit den Koeffizientenvektoren über die Lösbarkeit entscheiden.

Schau dir doch einfach mal das LGS zur linearen Abhängigkeit von oben an. Du musst bei dem LGS von vorhin doch nur die rechte Seite durch Nullen austauschen.
Was für ein Ergebnis kommt denn dann bei dem LGS heraus und welchen Schluss ziehst du daraus für die (un)abhängigkeit der Vektoren?

edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.
Darky23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Also muss ich jetzt das LGS auf Lineare Unabhängigkeit prüfen?

d. h das GS sieht dann so aus.

2x + 3y = 2
3x + 4y = 4
2x + y = 6

Ist das richtig?
Hunter Sweetwater Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
njain smile

So wird es häufig in der Schule gemacht. Genaugenommen ist es aber nicht ganz richtig.

Du versuchst zu zeigen, dass du mit Hilfe der Linearkombination zweier Vektoren den 3. Vektor darstellen kannst. Wenn dir das gelingt, wäre die Abhängigkeit bewiesen.
Genaugenommen könntest du aber auch oder das überprüfen. Laut Definition von linearer Abhängigkeit muss nur eine dieser Gleichungen Lösbar sein, damit Abhängigkeit vorliegt.
Wenn es dir also beim ersten Mal nicht gelingt, müsstest du genaugenommen noch die anderen Möglichkeiten überprüfen.
Daher benutzt man lieber das LGS von mir oben, bei dem der Nullvektor herauskommen muss zum Nachweis. Da reicht eine Rechnung.
In diesem Fall musst du eigentlich gar nicht mehr rechnen, da das Ergebnis bei meiner Methode auf einen Blick erkennbar ist.
Darky23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Also ich hab jetzt ausgerechnet das das LGS 0 = 0 ist d. h sie sind linear abhängig.

Stimmt das?
Hunter Sweetwater Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Darky23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Jo dann stimmts ja^^
Hunter Sweetwater Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
genau !

Also könnte man doch Vermuten:

Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn seine Koeffizientenvektoren linear unabhängig sind.

Das ist die Antwort auf 1.
Darky23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Das bedeutet ist das LSG lösbar so sind die Vektoren linear abhängig ansonsten sind sie unabhängig. Das ist die Antwort auf Aufgabe 1.

Stimmt das?
Hunter Sweetwater Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Bei 2a gehört die Lösung des LGS von ganz am Anfang hin. Also dieses hier:


__________________________________________________________________

Das ist leider nicht richtig. Der Satz stimmt nur so, wie ich ihn aufgeschrieben habe. smile

Ein LGS kann durchaus noch unendlich viele Lösungen haben (also lösbar sein), auch wenn die Koeffizientenvektoren linear abhängig sind.
Aber das LGS ist nur dann eindeutig lösbar, wenn die Vektoren unabhängig sind.

Oder im Umkehrschluss, wie du es formulieren wolltest:
Wenn das LGS eine eindeutige Lösung hat, dann müssen die Koeffizientenvektoren linear unabhängig sein.

edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.
Darky23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Aha ich glaube ich habs verstanden.

eindeutig lösbar ist nicht das Gleiche wie lösbar oder wie?
Hunter Sweetwater Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
genau ^ es gibt ja drei mögliche Ergebnisse für ein LGS (eindeutig lösbar, lösbar mit unendlich vielen lösungen, unlösbar).

lineare Abhängigkeit kann aber nur vorliegen oder aber eben nicht. Also nur 2 Möglichkeiten der Unterscheidung
__________________________________________________________________

Der Anfang ist etwas redundant. Ich hatte das vorhin schon vorbereitet.

Die Vermutung wäre also, dass ein solches LGS nur dann eindeutig lösbar ist, wenn die Koeffizientenvektoren linear unabhängig sind.
Lösbar kann das LGS dennoch sein (zB unendlich viele Lösungen).
Denk zB mal an das LGS zur Untersuchung der linearen Unabhängigkeit. Einzig und allein dadurch, dass der Ergebnisvektor ein Nullvektor war, führte das LGS auf eine wahre Aussage und hatte damit unendlich viele Lösungen.

In Aufgabe b sollst du nun einen Wert für die 1. Komponente des Ergebnisvektors d derart bestimmen, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat.
Durch das Verändern einer Komponente können wir natürlich rechts keinen Nullvektor zaubern, aber die Frage legt nahe, dass es noch andere Möglichkeiten geben muss.

Also mach einfach mal folgendes: Ersetze die 1. Komponente durch eine Variable und löse das LGS mit diesem Ergebnisvektor erneut.



edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.
Darky23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Ich verstehe nicht wie ich d1 wegbekomme.
Hunter Sweetwater Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
überhaupt nicht. Am Ende kommt ja auf der linken Seite wieder 0 hereus und auf der rechten Seite hast du diesmal aber einen Ausdruck mit d1.
Du musst dann nur noch den Wert von d1 so bestimmen, dass eine wahre Aussage vorliegt. Dann hat das LGS ja unendlich viele Lösungen.
__________________________________________________________________

Um Schreibarbeit zu sparen verwendet man häufig auch die erweiterte Koeffizientenmatrix um ein Gleichungssystem zu lösen. Dabei lässt man einfach die Variablen weg und ersetzt das Gleichheitszeichen durch einen Strich. Danach bringt man die Matrix mit dem Gauß-Verfahren in die Dreiecksform.

Ich hab das mal hier gemacht:
[attach]25373[/attach]

edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.
Darky23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Also d ist dann -3?
Hunter Sweetwater Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
falsch 3
Darky23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Ja klar ich weiss wegen dem Minuszeichen. :-)
__________________________________________________________________

So ich glaube wir sind fertig vielen Dank für deine Hilfe :-)!!
Echt super hast du das erklärt.

edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt
Hunter Sweetwater Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
genau ^^

Bei Aufgabe c musst du nun eine ganz konkretes Lösungstrippel (x,y,z) aus der unendlichen Anzahl von Lösungen bestimmen. Das geht natürlich nur, wenn d1=3 ist, wie du eben schon berechnet hast.
Dazu löst du jetzt einfach das LGS von eben nach x und y auf. Die Variable z wirst du nicht beseitigen können, die bleibt dann einfach als variable in den umgestellten Gleichungen erhalten und kann frei gewählt werden.
__________________________________________________________________

Ich glaub da hat jemand die Lust verloren, aber ich will wenigstens noch das Ergebnis hinschreiben:

x=-d-6z
y=3+2z
z=z

Da d=3 gilt ergibt sich:

x=-3-6z
y=3+2z
z=z

Eine Lösung könnte daher sein (-9|5|1) oder auch (-3|3|0) ....

edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.
Darky23 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Ah noch ne Frage ich habe das LSG ausgerechnet und bekomme aber d1 gleich 2 raus weisst du wo mein Fehler liegt?

Mit dem Additionsverfahren komme ihc auf

5y - 10z = 15d1 - 45
-5y + 10z = 15
Hunter Sweetwater Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
nur anhand der beiden Zeilen kann ich das nicht erkennen, aber da muss ein Rechenfehler drinstecken, hab die Ergebnisse mit dem CAS überprüft.
Hunter Sweetwater Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
So oder ähnlich müsste es bei dir aussehen:

Hunter Sweetwater Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Ich habe gerade einen Fehler in meiner obigen Lösung zu Aufgabe c entdeckt.
Die eine Gleichung stimmt nicht.



Lösungen könnten daher zB sein: (-3|3|0) oder (-7|5|1) ...
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