Kegelstumpf ohne "innenzylinder" durch Integration

21.07.2012, 12:42	Evaneszent	Auf diesen Beitrag antworten »
Kegelstumpf ohne "innenzylinder" durch Integration Hallo, ich stehe vor folgendem Problem: Ich möchte eine Formel durch Integration herleiten, welche mir das Volumen des "Dreieckrings" angibt, wenn ich von einem Kegel die Spitze und den "Innenzylinder" weg nehme! Ich hänge an dem Punkt, dass ich es nicht hinbekomme eine Funktion zu erstellen, welche mir ein vom Nullpunkt verschobenes Dreieck beschreibt! Mein Plan ist es wie einen Kegel in Polarkoordinaten zu integrieren! Für den Kegel bin ich auf folgendes gekommen: $\begin{eqnarray} V=\int_0^R \! \int_0^{2\pi} \! h(1-\frac{1}{R}r)r \, d\phi \, dr \end{eqnarray}$ Meine Frage ist nun ob und wie ich das Modifizieren kann um auf den "Ring" zu kommen? Vielen Dank für Eure Hilfe! PS: wenn es eine einfachere Lösung gibt, wäre ich natürlich auch sehr dankbar!
22.07.2012, 02:18	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du das rote Stück um die x-Achse rotieren lässt, wobei das Grüne den Innenzylinder darstellt, ergibt sich mit $\begin{eqnarray} f(x) = r_1+ \frac {r_2-r_1} {h }x \quad \text {\rm und} \quad g(x)= r_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V_{\rm Dreieck}=\int_0^h\, \pi (f(x)^2 -g(x)^2) \, \dd x \end{eqnarray}$ im Bild ist $\begin{eqnarray} r_1=1, r_2=4, h=6 \end{eqnarray}$ Das Integral ist natürlich viel einfacher wie es aussieht.
22.07.2012, 11:55	Evaneszent	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Dopap, vielen Dank!

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