Diagonalisierbarkeit und Basis

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MagistasLina Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierbarkeit und Basis
Meine Frage:
Hi,
wir hatten mal einen Satz in der Vorlesung:
Ein Endomorphismus ist diag.bar <-> Es existiert eine Basis aus Eigenvektoren

Meine Ideen:
1.
Basis einer Matrix macht irgendwie keinen Sinn, ich kann maximal die Basis von V berrechen, wenn f:V->V geht. also den Bildraum? d.h. Bild(f) = {EV zu f} ??

2.
Was hat das mit den Eigenvektoren zu tun? Es muss doch nur ein T existieren (inv.bar) so dass T*A*T^-1 diagonal ist. (mit A abb.matrix zu f)

Vielen Dank :-)
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Hey!

Die Basis sollte die vom Definitionsbereich sein. Und in Wirklichkeit muss es dann auch ein Isomorphismus sein, Definitions- und Wertebereich müssen identisch sein, sonst ist die Abbildungsmatrix nicht quadratisch und kann auch keine Diagonalmatrix sein.

Die Abbildungmatrix entsteht ja dadurch, dass man die Basisvektoren abbildet und die Koordinatenvektoren spaltenweise aufschreibt.

Sagen wir mal du hast eine lineare Abbildung und f hat zwei linear unabhängige Eigenvektoren . Dann bildet man diese beiden ab und erhält und . Fällt da der Groschen? Idee!
MagistasLina2 Auf diesen Beitrag antworten »

hey
danke für deine Antwort.
Ich steh einfach auf dem Schlauch :Hammer: ich hab nochmal versucht nachzuvollziehen was du geschrieben hast aber so recht verstehen tue ich das immer noch nicht.

[attach]25350[/attach]

Was sagt mir die Basis von V über die Transformationmatrix T aus, mitder ich T*A*T^-1 diag. umwandeln kann??? T beschreibt doch eigentlich nur einen Basiswechsel ?!?
Woah ich bin echt am verzweifeln
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Trafomatrizen brauchen wir nicht, wir können das ohne machen. Wie gesagt - wir bilden die gewünschten Vektoren mit der Abbildung ab und bilden den Koordinatenvektor und schreiben ihn spalten weise auf. Guck mal in meinen Workshop: [Artikel] Abbildungsmatrizen

Zitat:
Original von Cel
Sagen wir mal du hast eine lineare Abbildung und f hat zwei linear unabhängige Eigenvektoren . Dann bildet man diese beiden ab und erhält und . Fällt da der Groschen? Idee!


Wie gesagt, wie lauten die Koordinatenvektoren der Bilder der Eigenvektoren? Die müssen dann spaltenweise aufgeschrieben werden - und dann müstte eine diagonale Matrix entstehen ...
MagistasLina2 Auf diesen Beitrag antworten »

So ich hab mir einfachmal ein Beispiel ausgedacht und das ganze zum Widerspruch geführt, vielleicht wird jetzt mein Problem deutlich :-)

[attach]25353[/attach]
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Da gibt es kein Problem. Alles ist richtig, bis auf die neue Basis. Du musst den Koordinatenvektor der Bilder dieser beiden Eigenvektoren bzgl. der Basis aufstellen und aufschreiben.

Wie lautet der Koordinatenvektor des Vektors bzgl. der Basis ? Diesen Vektor musst du nehmen. Ebenso bei dem anderen Eigenvektor.

Edit: Es geht um den Koordinatenvektor des Bildes der Funktion, korrigiert.
 
 
MagistasLina2 Auf diesen Beitrag antworten »

ahhh ok wenigstens klappt es jetzt

[attach]25354[/attach]

Aber immernoch verstehe ich nicht warum????????
Es muss doch irgendein Zusammenhang zwischen der Existenz der Transformationsmatrix T und der Basis geben?
oder warum sind Matrizen denn nicht diag.bar, wenn es keine Basis aus EV gibt??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe solche Fragen für mich immer sehr praktisch bewältigt, also Eigenvektoren abbilden, Spaltenvektor hat nur in einer Komponente was ungleich 0 -> Diagonalmatrix. Wenn man nicht genug Eigenvektoren hat, kriegt man es nicht mehr hin. Ich stelle mal die Frage auch für andere in den Raum - das theoretische mit den Basiswechseln kann ich dir nämlich leider nicht beantworten. unglücklich Sorry, aber hier gibt es viele kluge Algebraiker, und einer wird das sicherlich beantworten können.
testOztheorem Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
warum sind Matrizen denn nicht diag.bar, wenn es keine Basis aus EV gibt?

überleg doch mal, was so eine diagonalisierte matrix tut.
außerdem was der basiswechsel bedeutet(, für den fall einer basis aus ev).
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