Wie zeige ich, dass wenn ich zwei orthogonale Vektoren in R2 habe dann...

21.07.2012, 15:57

Schnuffel001

Wie zeige ich, dass wenn ich zwei orthogonale Vektoren in R2 habe dann...

Meine Frage:
Wie zeige ich, dass wenn ich zwei orthogonale Vektoren in R2 habe dann muss ein zu beiden Vektoren orthogonaler Vektor der Nullvektor sein?

Meine Ideen:
Ich habe überlegt es vieleicht mit dem Gram-Schmidten Orthogonalisierungsverfahren nachzurechnen. Allerdings wäre dies dann ja eher eine Probe, anstatt ein Beweis. Wie könnte man für einen formalen Beweis ansetzen?

21.07.2012, 16:09

Captain Kirk

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Seien x,y die orthogonalen Vektoren.
Sei v ein zu x und y orthog. Vektor. Verwende den Umstand, dass x,y eine Basis von R² ist um <v,v>=0 zu zeigen.

21.07.2012, 16:10

Teststudi

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Hmm vll reicht es ja wenn du einfach sagst das jeder Punkt im R^2 durch Linearkombination aus den beiden Orthogonalen Vektoren dargestellt werden kann, somit kann es keinen anderen Vektor mehr geben (ausser eben den 0 Vektor) der das erfüllt?

22.07.2012, 09:16

Schnuffel001

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Zitat:

Verwende den Umstand, dass x,y eine Basis von R² ist um <v,v>=0 zu zeigen.

also dass gilt

$\begin{eqnarray*} \vec{0} = \alpha_1 \vec{x} + \alpha_1 \vec{y} \forall \alpha_i = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Aber was mache ich damit?

22.07.2012, 09:30

Schnuffel001

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Kann ich vielleicht auch so argumentieren:

- x und y sind orthogonal in R2
- x und y sind also linear unabhängig, ein EZ und somit eine Basis in R2
- Behauptung: sei z ein zu y und x orthogonaler Vektor in R2 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ x, y, z linear unabhängig sein
- wenn x,y,z linear unabhängig sind dann müssen sie eine Basis sein
- eine Basis in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ kann aber maximal n linear unabhängige Vektoren beinhalten
- jeder n+1 Vektor muss linear abhängig sein (den Beweis hatten wir) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ z muss linear abhängig sein
- z kann somit nur der Nullvektor sein

ist das ausreichend?

22.07.2012, 13:07

Captain Kirk

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \vec{0} = \alpha_1 \vec{x} + \alpha_1 \vec{y} \forall \alpha_i = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Keine Ahnung was das sagen soll. Und die Null lässt sich aus jeder Menge von Vektoren trivial kombinieren.

Zitat:

Kann ich vielleicht auch so argumentieren:

Der letzte Schluss ist falsch:
$\begin{eqnarray*} z kann somit nur der Nullvektor sein \end{eqnarray*}$
Jeder Vektor ist zu einer Basis linear abhängig.

22.07.2012, 13:19

Schnuffel001

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Das hilft mir jetzt nicht wirklich weiter.

ich soll also zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} v \ cdot v = 0 \end{eqnarray*}$

dazu kann ich verwenden

$\begin{eqnarray*} x \ cdot v = 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} y \ cdot v = 0 \end{eqnarray*}$

bzw.

Zitat:

Verwende den Umstand, dass x,y eine Basis von R²

Und welche Formel kann ich aus dieser Aussage gewinnen? Wir haben eine Basis als linear unabhängiges Erzeugendensystem definiert. Was genau so ich davon nun verwenden?

22.07.2012, 13:28

Captain Kirk

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Zitat:

<v,v>

Ist meine (und da bin ich nicht alleine) Schreibweise für das was du als $\begin{eqnarray*} v\cdot v \end{eqnarray*}$ schreibst.

Zitat:

Wir haben eine Basis als linear unabhängiges Erzeugendensystem definiert. Was genau so ich davon nun verwenden?

Genau das, du kannst jeden Vektor damit erzeugen, z.B. auch v.
Setze hier <v.v> für eines der beiden v's ein, wie es von x, y erzeugt wird.

22.07.2012, 13:32

Schnuffel001

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$\begin{eqnarray*} \vec{v} = \alpha_1 \vec{x} + \alpha_2 \vec{y} \end{eqnarray*}$

und für v soll ich nun einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \vec{v} * \vec{v} = \alpha_1 \vec{x} + \alpha_2 \vec{y} \end{eqnarray*}$
? Ich glaube ich verstehe einfach nicht was du meinst...

Sind ja tolle Aussichten für die Klausur unglücklich

22.07.2012, 13:38

Captain Kirk

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Verzeih' mir dass ich Physiker-Notation vermeide:
$\begin{eqnarray*} <v,v>=<v,\alpha x + \beta y> \end{eqnarray*}$
Jetzt Linearität des Skalarprodukts verwenden und dann die Orthogonalität von v.

22.07.2012, 13:43

Schnuffel001

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so?
$\begin{eqnarray*} \vec{v} \cdot \vec{v}= \vec{v} \cdot (\alpha_1 \vec{x} + \alpha_2 \vec{y}) \vec{v} \cdot \vec{v}= \alpha_1( \vec{v} \cdot \vec{x}) + \alpha_2 ( \vec{v} \cdot \vec{y}) \vec{v} \cdot \vec{v}= \alpha_1 * 0 + \alpha_2 * 0 \vec{v} \cdot \vec{v}= 0 \end{eqnarray*}$

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