Kontrolle: Basiswechselmatrizen

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Horst123 Auf diesen Beitrag antworten »
Kontrolle: Basiswechselmatrizen
Hallo,
rechne gerade eine alte Klausur zu der es leider keine Lösung gibt und würde gern wissen ob ich folgende Aufgabe richtig gelöst hab, vor allem ob der Weg richtig ist:

Sei V ein Q-Vektorraum und A=(v1,v2,v3) eine geordnete Basis von V. Eine weitere geordnete Basis B=(u1,u2,u3) ist gegeben durch: u1=2*v1-2*v2-v3, u2=-2*v1+v2+2*v3, u3=v1-v2-v3.

a) Bestimme die Basiswechselmatrizen.

Da habe ich
A^M^B=
und
B^M^A=.
Sollte richtig sein, da weiß ich wie das geht.

b) Bestimmen sie den koordinatenvektor von v1+v2+v3 bezüglich der Basis B.

Da habe ich einfach B^M^A mit multipliziert,
da kam dann raus, ist das der richtige Weg?

c) Es sei phi: V-->V die lineare Abbildung mit der Abbildungsmatrix bezüglich A:

Bestimmen sie die Abbildungsmatrix von phi bezüglich der Basis B.

Ich hätte jetzt einfach B^M^A mit der Matrix von phi multipliziert, da kommt dann

raus, aber das scheint nicht zu stimmen. Ist mein Weg so korrekt?

Danke für jede Hilfe!
Horst
HueHang Auf diesen Beitrag antworten »

a)
Die Matrizen sehen gut aus.

b)
Den Koordinatenvektor hast du auch richtig berechnet.
Du kannst auch die Probe machen, indem du die Gleichung mithilfe des Koordinatenvektors aufstelltst.


c)
Sei deine lin. Abbildung. Außerdem seien geordnete Basen von V.
Du musst hier den Basiswechselsatz anwenden.
Es gilt:

Deine Basiswechselmatrizen hast du ja bereits in a) aufgestellt. Jetzt musst du nur noch die Multiplikationen durchführen.
Was du nun haben willst, ist
Was entspricht.
Horst123 Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss ich einfach mein Ergebniss aus c) noch mit A^M^B multiplizieren :-)
Da habe ich dann raus.

Mich würd noch interessieren, warum man in b) den einzelnen Vektor nur mit der einen Wechselmatrix multiplizieren muss, aber eine Matrix mit beiden?

Vielen Dank für deine Hilfe!
HueHang Auf diesen Beitrag antworten »

Für Koordinatenvektor gilt:


Allerdings muss man beim Basiswechselsatz stets mit 3 Matrizen multiplizieren, da
gilt. Und du wolltest ja die Abbildungsmatrix berechnen.

Viel Erfolg am Montag Wink
blahbel Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Gleichfalls?^^
Horst123
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