Winkel zwischen Vektor und Ebene

21.07.2012, 14:56

blahbel

Winkel zwischen Vektor und Ebene

Hey,

habe ein Problem mit dieser Aufgabe hier:

Wir betrachten R^4 mit dem Standardskalarprodukt.
u= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ 9\\ 2\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , v = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0\\ 0\\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , w= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3\\ -2\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
v und w bilden eine Orthogonalbasis von E.

Berechenen Sie den Cosinus des Winkels a zwischen u und E.

Ich habe eine Formel gefunden mit der ich den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen kann:

cos a = <v,w>/(||v||*||w||)

aber im Skript steht nichts dazu wie man den Winkel zu einer Ebene berechnet. Kann ich diese Formel vielleicht irgendwie ausbauen, so das das funktioniert?

Danke schonmal!

21.07.2012, 15:10

Math1986

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RE: Winkel zwischen Vektor und Ebene

Zitat:

Original von blahbel

aber im Skript steht nichts dazu wie man den Winkel zu einer Ebene berechnet. Kann ich diese Formel vielleicht irgendwie ausbauen, so das das funktioniert?

Ja, du musst den Winkel zwischen Normalenvektor der Ebene und den anderen Vektoren bestimmen, diese Formel ist da richtig.

21.07.2012, 15:28

blahbel

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RE: Winkel zwischen Vektor und Ebene
Hey, danke für die Antwort, macht Sinn :-)
Aber für den Normalenvektor gibts ja viele Möglichkeiten, wir sind immerhin in R^4...ist das egal welchen ich davon nehme?

22.07.2012, 14:33

blahbel2

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22.07.2012, 20:52

Dopap

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zu den von $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec w \end{eqnarray*}$ aufgespannten Unterraum $\begin{eqnarray*} \rm U \end{eqnarray*}$ , finde ich einen senkrechten Unterraum $\begin{eqnarray*} \rm U^{\perp} \end{eqnarray*}$

zum Beispiel mit den Basisvektoren $\begin{eqnarray*} \vec a = (0,2,3,0)^T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec b=(6,-5,0,3)^T \end{eqnarray*}$ es gilt also:

Sei $\begin{eqnarray*} \vec m_1 \in U \quad \text {und} \quad \vec m_2 \in U^\perp \Rightarrow \langle \vec m_1, \vec m_2 \rangle =0 \end{eqnarray*}$

Bei der Winkelbestimmung zwischen $\begin{eqnarray*} \vec u ~ \text {\rm und} ~ \vec m_2 \end{eqnarray*}$ ist so gut wie jeder Winkel möglich.

Das bestätigt deine Vermutung. Weiter weiss ich auch nicht.

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