Geimsame Eigenwerte linearer Abbildungen

21.07.2012, 18:40	bratkartoffel	Auf diesen Beitrag antworten »
Geimsame Eigenwerte linearer Abbildungen Meine Frage: Hallo, Ich habe die linearen Abbildungen f:V->V, g:W->W sowie h:V->W gegeben. Diese sind kommutativ, d.h. h(f(v))=g(h(v)). Die Behauptung ist nun (i) ist h injektiv, so sind die Eigenwerte von f ebenfalls Eigenwerte von g. (ii) ist h surjektiv, so sind die Eigenwerte von g ebenfalls Eigenwerte von f. ist die Aufgabe aus dem Bosch: 6.1 Aufgabe 7 Meine Ideen: ad i) Sei e EW von f => ex. v in V \{0}:f(v)=ev z.z.: ex w in W \{0}: g(w)=ew Sei w=h(v) => g(w)=g(h(v))=h(f(v))=h(ev)=eh(v)=ew Q.E.D. Die Injektivität brauche ich hier damit v tatsächlich mein Eigenvektor ist (und kein v' mit w=h(v)=h(v') ) (richtig?) ad ii) Will ganz ähnlich lösen: Sei e EW von g => ex w in W-{0}: g(w)=ew z.z.: ex v in V-{0}:f(v)=ev Wähle v so dass h(v)=w (dieses w existiert, da h surjektiv) => g(h(v))=eh(v)=h(f(v)) <=> h(ev)=h(f(v)) Nun komme ich hier nicht weiter, da h nicht injektiv sein muss... Außerdem soll man sich einfache Beispiele überlegen, die zeigen warum Sur- und Injektivität unentbehrlich sind. Hat jemand einen Tipp wie man einfach einfache lineare Beispiele konstruiert die diesen ganzen Ansprüchen genügt? Gruß
21.07.2012, 20:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geimsame Eigenwerte linearer Abbildungen i) ist fast richtig. Die Injektivität brauchst du aber dafür, dass $\begin{eqnarray} h(v)\neq0 \end{eqnarray}$ . ii) Vielleicht kannst du ausnutzen, dass es eine injektive Abbildung $\begin{eqnarray} \tilde h\colon W\to V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h(\tilde h(w))=w \end{eqnarray}$ gibt. Habe ich jetzt aber auch nicht überprüft... Für das Beispiel: $\begin{eqnarray} h=0 \end{eqnarray}$ . mfg, Ché Netzer
21.07.2012, 20:30	bratkrateroffl	Auf diesen Beitrag antworten »
i) ja. das klingt einleuchtend. ii) ich verstehe nicht ganz wie das h~ helfen soll, das sieht zwar nach einer eingeschränkten inversen aus, aber ich will ja die gleichheit in V zeigen. Da kann ich doch nicht den Bereich einschränken... oder? Ich meinte eigentlich einfache Beispiele, keine trivialen. also eines an dem man sieht was schief geht, wenn man die vorraussetzungen nicht erfüllt. gruß
21.07.2012, 20:50	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu ii): Hier meinte ich, dass man vielleicht i) mit vertauschten Rollen anwenden könnte. Aber $\begin{eqnarray} h=0 \end{eqnarray}$ ist doch auch ein einfaches Beispiel. Ansonsten nimm dir z.B. $\begin{eqnarray} V\subsetneq W \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ als Identität, $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ sei aber nur auf $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ die Identität und habe sonst noch andere Eigenwerte.

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