Matrix aus Eigenwerten und Eingenwerten

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Swizzel Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix aus Eigenwerten und Eingenwerten
Meine Frage:
Bestimmen sie jene Matrix deren Eigenwerte x1=4 x2=-3 und die folgenden Eigenvektoren besitzt? zu x1: (1,-1)T zu x(-1,2) wie muss man hier vorgehen besten dank für eure hilfe mfg


Meine Ideen:
Kiwiatmb Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu solltest du dir erst einmal klar machen, was ein Eigenwert / Eigenvektor eigentlich ist und wie das Ganze zusammenhängt.
Dazu entweder dein Skript bemühen oder unter Wikipedia nachsehen.

Dann gibst du dir einfach deine Matrix A z.B. als vor und schaust mal, was du für Beziehungen herstellen kannst. (Sollte dann auf 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten a_1 bis a_4 rauslaufen, die du dann nach Belieben lösen kannst. Aber jetzt erst mal Schritt für Schritt. smile )
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix aus Eigenwerten und Eingenwerten
Zunächst einmal ist der Titel deiner Frage etwas seltsam Augenzwinkern

Ansonsten gibt es mehrere Methoden:
1. Die Diagonalmatrix aus den Eigenwerten bilden und die Transformationsmatrix aus den Eigenvektoren. Diese invertieren und alles entsprechend verrechnen.
2. Einfach die Matrix als setzen und aus den Bedingungen ein Gleichungssystem aufstellen.
3. Eine allgemeine Matrix suchen, deren Kern (1,-1) enthält, dann 4*Einheitsmatrix draufaddieren. Analog für den zweiten Eigenwert, Matrizen gleichsetzen.

mfg,
Ché Netzer
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix aus Eigenwerten und Eingenwerten
Hm, ich sollte wohl die einzelnen Methoden noch kommentieren:
1. ist die aufwendigste. Könnte aber auch relativ elegant aussehen, da man keine Gleichungssysteme nutzt bzw. nicht alle Koeffizienten einzeln bestimmt.
2. ist wohl die Standard-Methode, einfach drauf los.
3. ist mein persönlicher Favorit. Das Gleichungssystem, das man erhält, ist verdammt einfach. Die Rechenleistung ist hier am geringsten, aber dafür muss man sich das ganze erst einmal überlegen und die Gleichungen aufstellen.
Kiwiatmb Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
[...] und die Transformationsmatrix aus den Eigenwerten.

Eigenvektoren meinst du wahrscheinlich.

In dem Thread sollte man wohl einfach "Eigenwerte und Eigenwerte" als "Eigenwerte und Eigenvektoren" definieren. Dann wär' auch der Titel nicht so seltsam. Augenzwinkern
Swizzel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix aus Eigenwerten und Eingenwerten
vielen dank für deine Antwort beste wo je gegeben hat
 
 
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kiwiatmb
Zitat:
[...] und die Transformationsmatrix aus den Eigenwerten.

Eigenvektoren meinst du wahrscheinlich.

Ah ja... Editiere ich gleich mal.
Ich scheine da auch wirklich jedes mal Eigenwerte zu sagen smile

@Swizzel:
Welche Antwort meintest du denn? verwirrt
Wowka21 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo CheNetzer,

da hattest bei deiner 3.Methode geschrieben:

3. Eine allgemeine Matrix suchen, deren Kern (1,-1) enthält, dann 4*Einheitsmatrix draufaddieren. Analog für den zweiten Eigenwert, Matrizen gleichsetzen.

Was meinst du den genau mit der Aussage eine Matrix suchen mit dem Kern (1,-1) ?

Muss nähmlich auch eine ähnliche Aufgabe machen.

mfg Wowka21
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wir wissen, dass im Kern von liegt.
Also schreiben wir

wobei und erfüllt sein müssen (das erhält man durch Multiplizieren mit dem Eigenvektor).
Damit erhältst du eine allgemeine Form für . (zunächst benutzt du die ganz allgemeine Form für Matrizen; dann wendest du die Voraussetzung an)
Wowka21 Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe es gerade nachgerechnet und ich bekomme für diese Beispiel immer die Matrix




kann aber nicht sein oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das kann tatsächlich nicht sein.
Wie hast du denn gerechnet?
Wowka21 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe diese Formel benutzt:



und



und dann jweils nach a,b,c,d aufgelöst
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

muss natürlich eine andere Matrix sein als Augenzwinkern
Finde zunächst die allgemeinen Formen für beide Matrizen unter Berücksichtigung der Eigenwerte. (dabei solltest du am Ende zwei Variablen in jeder Matrix haben)
Wowka21 Auf diesen Beitrag antworten »

habe diese Aufgabe gerade nochmal mit der allg. Gleichung:




bekomme dann als Lösung:


A=


Ist das richtig?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Zeile sieht schonmal gut aus; die zweite ist bei mir anders.
Wowka21 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe es nomma mit Taschenrechner kontrolliert und es sollte eigentlich richtig sein hier nomma meine rechnung:

* =


* =

daraus folgt:

1) a-b=4 und -a+2b=3 => a=11 b=7

2) c-d=4 und -c+2d=-6 => c=2 d=-2
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wowka21
2) c-d=4

Wirklich?
Wowka21 Auf diesen Beitrag antworten »

ach verdammt, ist schon zu spät für mathe :-) muss lauten:

c-d=-4


dann kommt raus:

c=-14 und d=-10
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, jetzt stimmt es.
Hier mal mein Lösungsweg (Vorschlag Nummer 3 von oben):

Dies liefert

also das Gleichungssystem
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