Standardnormalverteilung Aufgabe

21.07.2012, 21:26

Yersinina

Standardnormalverteilung Aufgabe

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Untersuchungen ergeben, dass 10% aller Jugendlichen unter Hörproblemen leiden. Bei 476 Schülern wird eine Untersuchung durchgeführt.

a) Bei wie vielen Schülern würden sie ein Hörproblem erwarten?

Erwartungswert: E(x)= 476*0,1

b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 12% der Schüler an Hörproblemen leiden?

Hier bin ich mir unsicher. Ich würde die Standardnormalverteilung benutzen und rechnen:

F (476*0,12-476*0,1)/476*0,1+(1-0,1)

damit komme ich auf ein F von 2/9 also laut Tabelle eine Wahrscheinlichkeit von 0,58706

Ist das so richtig? Ich hab die Normalverteilung noch nicht so wirklich verstanden...

MfG

Yersinia

21.07.2012, 22:10

frank09

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RE: Standardnormalverteilung Aufgabe
Wenn du die an sich binomialverteilte Anzahl an Jugendlichen mit Hörproblemen durch die NV annähern willst, muss du mit
$\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{np(1-p)} \end{eqnarray*}$ rechnen.
Damit kannst du dann auf die Standardnv "umrechnen":

$\begin{eqnarray*} z=\frac{x-np}{\sigma} \end{eqnarray*}$
x ist die Anzahl-Obergrenze. Z gibt dir an, wie viele Standardabw. die Obergrenze vom Erwartungswrt abweicht
und $\begin{eqnarray*} \Phi(z) \end{eqnarray*}$ ist die gesuchte WK.

21.07.2012, 22:15

Yersinia

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RE: Standardnormalverteilung Aufgabe
Habe ich doch so gemacht oder hab ich da irgendwas anders gerechnet?

21.07.2012, 22:21

Kasen75

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@ Frank09,

ist bei der Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung nicht

$\begin{eqnarray*} z=\frac{x+0,5-np}{\sigma} \end{eqnarray*}$ ?

Mit freundlichen Grüßen.

22.07.2012, 00:27

frank09

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RE: Standardnormalverteilung Aufgabe

Zitat:

Habe ich doch so gemacht oder hab ich da irgendwas anders gerechnet?

Du hast gerechnet (oder so ähnlich Augenzwinkern

):

$\begin{eqnarray*} z=\frac{476\cdot0,12-476\cdot0,1}{476\cdot0,1+(1-0,1)} \end{eqnarray*}$

besser
$\begin{eqnarray*} z=\frac{476\cdot0,12-476\cdot0,1}{\sqrt{476\cdot0,1\cdot0,9}} \end{eqnarray*}$

@Kasen75:
Du hast recht, es geht noch genauer. Ich vermute aber, dass sie es ohne diese Stetigkeitskorrektur gelernt hat.

22.07.2012, 11:06

Yersinina

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RE: Standardnormalverteilung Aufgabe
Ah stimmt, da habe ich die Wurzel vergessen geschockt

Ein paar weitere Fragen hätte ich aber noch:

wenn gefragt wäre, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass MEHR als 12% der Schüler Hörprobleme haben, müsste ich ja einfach 1 - die errechnete Wahrscheinlichkeit für weniger als 12% nehmen oder?

Wenn gefragt wäre, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass genau 12% betroffen sind, könnte ich doch die Binomialverteilung nehmen oder?

Wie genau gehe ich vor wenn gefragt ist, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass z.B. 12%-6% der Schüler betroffen sind?

22.07.2012, 21:31

frank09

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RE: Standardnormalverteilung Aufgabe
Theoretisch gilt:
P(weniger als 12%)=1-P(mindestens 12%)
P(höchstens 12%)=1-P(mehr als 12%)

Theoretisch deshalb, weil es 12%=57,12 Schüler nicht sein können, also

höchstens oder weniger als 12% entspricht n<58
mindestens oder mehr als 12% entspricht n>57
"genau" 12% wären dann 57, weil am nächsten dran (=B(476;0,1;57))
NV wäre
Wenn du nach 6-12% gefragt wirst rechnest du einfach die Differenz:
$\begin{eqnarray*} P(X<476\cdot0,12)-P(X<476\cdot0,6) \end{eqnarray*}$ (Näherung)
genau 12% wäre:
$\begin{eqnarray*} P(X<476\cdot0,12)-P(X<476\cdot0,11) \end{eqnarray*}$

Denkbar wäre auch hier, statt Prozent den ganzen Wert zu nehmen
$\begin{eqnarray*} P(X<58)-P(X<57) \end{eqnarray*}$
Hängt vom Lehrer ab. Ganze Zahlen sind bei Schüleranzahl auf jeden Fall besser.

Du kannst natürlich auch hier mit der exakten Binomialverteilung rechnen:
mindestestens 6%(28,56) höchstens 12%(57,12) heißt dann
$\begin{eqnarray*} 29\leq n\leq 57 \end{eqnarray*}$

22.07.2012, 22:07

Yersinina

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RE: Standardnormalverteilung Aufgabe
Ok vielen Dank! Freude

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