Isolierte Singularitäten klassifizieren

22.07.2012, 01:06	Urgent	Auf diesen Beitrag antworten »
Isolierte Singularitäten klassifizieren Meine Frage: Klassifiziere die isolierte Singularität der folgenden Funktion und gebe ggf. die Polstellenordnung sowie das Residuum an der Stelle an: $\begin{eqnarray} f(z)= \frac{z}{exp(z)-1}, z\in\mathbb{C} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Hallo zusammen, Da die komplexe exp Funktion periodisch ist mit $\begin{eqnarray} exp(i2n\pi)=1, n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ , hat die Nennerfunktion in $\begin{eqnarray} z_{n}=2i\pi n \end{eqnarray}$ Nullstellen 1. Ordnung, wobei die Zählerfunktion in einer Umgebung um $\begin{eqnarray} z_n \end{eqnarray}$ holomorph ist, damit hat die Funktion f eine Polstelle 1. Ordnung in $\begin{eqnarray} z_{n} \end{eqnarray}$ . (Reicht das als saubere Begründung?) Nun gilt doch allgemein, dass wenn eine Funktion f eine Polstelle m-ter Ordnung hat in $\begin{eqnarray} z_{0} \end{eqnarray}$ , dann kann man schreiben: $\begin{eqnarray} f(z)=(z-z_{0})^{-m}g(z) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} g(z_{0})\not=0 \end{eqnarray}$ und g holomorph. Wie sieht das in dieser Aufgabe dann ganz konkret aus? Ich müsste doch hier doch auch die Nullstellen $\begin{eqnarray} z_{n} \end{eqnarray}$ rausziehen können- aber was ist dann die übrig bleibende holomorphe Funktion? Also $\begin{eqnarray} f(z)=(z-z_n)\cdot g(z) \end{eqnarray}$ was ist g hier? Kann man die Funktion überhaupt explizit angeben? Da ich eine Polstelle 1. Ordnung habe, sollte man das Residuum an den Polstellen ja einfach über die bekannte Regel berechnen können, sodass $\begin{eqnarray} res(f,z_n)=z_n \end{eqnarray}$ ? Würde mich über Hilfe freuen, liebe Grüße
22.07.2012, 01:35	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isolierte Singularitäten klassifizieren Wieso möchtest du eigentlich die Funktion noch anders darstellen? $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ würdest du jedenfalls einfach erhalten, indem du $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (z-z_n) \end{eqnarray}$ multiplizierst. Ansonsten solltest du dir nur die 0 nochmals ansehen. mfg, Ché Netzer
22.07.2012, 02:23	Urgent	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isolierte Singularitäten klassifizieren Die andere Darstellung ist nur aus eigenem Interesse, auch wenn es hier nicht verlangt ist. Wenn ich in diesem Bsp. f mit $\begin{eqnarray} (z-z_0) \end{eqnarray}$ multipliziere, kann ich ja aufgrund der exp Funktion im Nenner nichts wirklich kürzen, also erhalte ich die triviale Darstellung: $\begin{eqnarray} f(z)=(z-z_0)^{-1}g(z)=(z-z_0)^{-1}(z-z_0)\frac{z}{exp(z)-1} \end{eqnarray}$ oder? Die Begründung, die Singularitäten von Zähler und Nenner komplett getrennt voneinander betrachten zu können, weil die andere Funktion jeweils in einer klein gewählten Umgebung holomorph ist, stimmt soweit? Zur Null: Die Null ist ja einerseits $\begin{eqnarray} 0\in z_n \end{eqnarray}$ dabei hätte ich anfangs eigentlich genauer definieren sollen: $\begin{eqnarray} z_n=2i\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Die Zählerfunktion ist bei z=0 gerade auch Null. Macht es hier dann Sinn eine Grenzwertbetrachtung für z gegen Null zu betrachten? Dann wäre mit l’Hospital: $\begin{eqnarray} lim_{z\to 0}f(z)=1 \end{eqnarray}$ . Das heißt doch insbesondere, dass f in einer Umgebung von 0 beschränkt ist. Damit würde mit dem Hebbarkeits Satz folgern, dass f in z=0 eine hebbare Singularität hat? Zusammengefasst wäre meine Lösung dann: f hat in $\begin{eqnarray} z_n \end{eqnarray}$ \ $\begin{eqnarray} \{0\} \end{eqnarray}$ eine Polstelle 1. Ordnung und in z=0 eine hebbare Singularität. Passt das? Lg
22.07.2012, 02:29	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isolierte Singularitäten klassifizieren Ja, die Darstellung ist trivial, aber das stört ja nicht. Ansonsten ist alles richtig (bis auf ein paar Formalitäten wie $\begin{eqnarray} 0\in z_n \end{eqnarray}$ ), aber die Funktionen in Zähler und Nenner sind ja sogar ganze Funktionen, nicht nur auf kleinen Umgebungen holomorph. Hattet ihr auch den Satz mit der Anzahl von Nullstellen von Zähler und Nenner und dass deren Differenz die Ordnung des Pols/der Nullstelle des Quotienten ist? Dann könntest du dir l'Hospital auch sparen.
22.07.2012, 02:41	Urgent	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isolierte Singularitäten klassifizieren Merci für die Antwort! Den Satz hatten wir als solchen nie, deswegen versuch ich’s penibel mit dem zu lösen, was wir hatten ;-) Aber da der Grenzwert existiert, ist die Funktion doch in einer Umgebung beschränkt und der Hebbarkeits Satz ist anwendbar, oder? Aber aus Interesse: Wenn der Satz angibt, dass die Differenz der NS Ordnungen von Zähler und Nenner die Polstellenordnung angibt, erhält man bei z=0 Ordnung Null, also hebbar?! LG
22.07.2012, 02:54	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isolierte Singularitäten klassifizieren Stimmt so alles.
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