Charakteristisches Polynom einer nxn-Matrix, n beliebig

22.07.2012, 10:59	blahbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Charakteristisches Polynom einer nxn-Matrix, n beliebig Hallo, bei dieser Aufgabe komme ich einfach nicht weiter, kann mir jemand helfen? Es sei V der Vektorraum R^n. Weiter sei phi: V-->V definiert durch phi((v1, v2, ... , vn)^t) = (vn, ... , v2, v1)^t. a) Bestimmen sie das Minimalpolynom von phi. b) Bestimmen sie das charakteristische Polynom von phi. Ich dachte mir ich fange mit b) an, weil ich a) dann ganz einfach daraus ablesen kann. Die Abbildungsmatrix von phi sähe ja dann z.B. für n=3 so aus A3 = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 &0 &1 \\ 0 &1 &0 \\ 1 &0 &0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und für n=4 so: A4 = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 &0 &0 &1 \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 1 &0 &0 &0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mit Gauß kann ich (xE - A3) und (xE - A4) Umformen in A3 = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x &0 &-1 \\ 0 &(x-1) &0 \\ 0 &0 &(x-1/x)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und A4 = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x &0 &0 &-1 \\ 0 &x &-1 &0 \\ 0 &0 &(x-1/x) &0 \\ 0 &0 &0 &(x-1/x)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Daraus schließe ich für gerade n das charakteristische Polynom: x^(n/2) * (x-1/x)^(n/2) = (x(x-1/x))^(n/2) = (x^2-1)^(n/2) und für ungerade n: x^(n/2-0,5)(x-1/x)^(n/2-0,5)(x-1) = (x(x-1/x))^(n/2-0,5)(x-1) = (x^2-1)^(n/2-0,5)(x-1) und für n=1: x Aber wie finde ich daraus jetzt eine einheitliche allgemeine Formel? Und habe ich vielleicht bei den Umformungen was falsch gemacht, irgendwie sieht das nicht richtig aus :-( Danke für alle Hilfe!!
22.07.2012, 11:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechne die Matrizen $\begin{eqnarray} A+E, \, A-E \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (A-E)(A+E) = A^2 - E^2 = A^2 - E \end{eqnarray}$ (mit $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -ter Einheitsmatrix). Das Ergebnis sagt dir alles übers Minimalpolynom.
22.07.2012, 12:07	blahbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, danke! (x+1)(x-1) ist demzufolge Minimalpolynom....aber wie komme ich jetzt daher auf das richtige Polynom?
22.07.2012, 13:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray} \varphi_A(x) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ hat den Grad $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Da es dieselben Nullstellen wie das Minimalpolynom hat, muß es, wenn man die normierte Form verwendet, die Gestalt $\begin{eqnarray} \varphi_A(x) = \left( x + 1 \right)^i \left( x - 1 \right)^j \ \ \text{mit ganzen Zahlen} \ i,j \geq 1 \ \text{und} \ i+j=n \end{eqnarray}$ besitzen. Der Koeffizient $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} x^{n-1} \end{eqnarray}$ ist das Negative der Spur von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ungerade, und $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gerade ist. Man kann nun untersuchen, für welche $\begin{eqnarray} i,j \end{eqnarray}$ man gerade diesen Wert erhält. Bekanntermaßen gilt, wenn ein Polynom in $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Linearfaktoren $\begin{eqnarray} x - \alpha_k \end{eqnarray}$ zerfällt: $\begin{eqnarray} (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n) = x^n - \underbrace{\left( \alpha_1 + \alpha_2 + \ldots \alpha_n \right)}_{-b} x^{n-1} + \ldots \end{eqnarray}$ Welcher Wert für $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ ergibt sich nun in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} i,j \end{eqnarray}$ ?

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