Mannigfaltigkeit

22.07.2012, 12:14

Admiral

Mannigfaltigkeit

Meine Frage:
Hi. Ich suche nach allg. Techniken, um zu zeigen, dass eine Menge eine Mannigfaltigkeit ist oder nicht.

Meine Ideen:
Mir ist bisher nur folgende bekannt: Zeige, dass eine Funktion f, die die Menge beschreibt, bijektiv und stetig in beiden "Richtungen" ist. Dann ist f eine Homöomorphie. Nun ist noch zu überprüfen, dass rg Df ungleich null ist für alle Elemente aus dem Definitionsbereich und es folgt, dass die Menge eine Mannigfaltigkeit ist.

22.07.2012, 16:31

gonnabphd

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Hi,

Eine schöne Mölglichkeit bietet oft der Satz vom regulären Wert. (Davon gibt es noch eine Verallgemeinerung: Ist $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^n \to \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ glatt und $\begin{eqnarray*} N \subset \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ eine Mannigfaltigkeit, dann ist $\begin{eqnarray*} M = f^{-1}(N) \end{eqnarray*}$ eine Mannigfaltigkeit, unter der Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ "transvers" zu $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist. Siehe auch hier)

Gruss smile

22.07.2012, 20:50

Admiral

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Danke für die Antwort, aber wir hatten Untermannigfaltigkeiten als Thema nicht und eine Funktion ist "glatt" ist mir auch kein begriff

23.07.2012, 10:08

system-agent

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Wieso befasst du dich dann mit Mannigfaltigkeiten und du hast diese Begriffe noch nie gehört?

Untermannigfaltigkeit = Eine Mannigfaltigkeit die in einer anderen Mannigfaltigkeit drin sitzt
glatt = genügend oft differenzierbar, meistens $\begin{eqnarray*} C^{\infty} \end{eqnarray*}$

Übrigens, in deinem ersten Post kann das nicht ganz stimmen. Es reicht nicht aus, dass der Rang ungleich null ist, vielmehr muss man nachweisen, dass der Rang maximal ist. Oder meintest du, dass du die Determinante überprüfen musst?

23.07.2012, 10:27

Admiral

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Naja, weil das vllt eine Aufgabe in der kommenden Klausur sein könnte. Wir hatten uns nur kurz mit Mannigfaltigkeiten beschäftigt und sind dann zu DGLn übergegangen.Okay dass der Rang maximal sein muss, habe ich der Lösung im Tutorium nicht rauslesen können, aber danke Augenzwinkern

. Gibt es denn ein einfaches Kriterium um zu sagen, dass eine Menge keine Mannigfaltigkeit sein kann?

23.07.2012, 10:55

system-agent

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Zitat:

Original von Admiral
Gibt es denn ein einfaches Kriterium um zu sagen, dass eine Menge keine Mannigfaltigkeit sein kann?

Mir wäre keines bekannt.

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