3x3 Matrix mit Parameter: Determinante, Polynom usw |
| 22.07.2012, 10:26 | blahbel | Auf diesen Beitrag antworten » |
| 3x3 Matrix mit Parameter: Determinante, Polynom usw habe bald Klausur und noch Probleme mit einem bestimmten Aufgabentyp, der ziemlich sicher drankommen wird. Dabei geht es immer um eine 3x3-Matrix mit Parameter, zu der dann Fragen gestellt werden wie die im folgenden Beispiel: Für t aus R sei M = aus R^(3x3). a)Was ist die Determinante von M? b)Für welche Werte von t ist M invertierbar? c)Für welche Werte von t aus Z ist M in Z^(3x3) invertierbar? d)Für welche t aus R besitz M einen Eigenvektor? e)Bestimmen sie das charakteristische Polynom von M. f)Für welche t ist M triangulierbar? g)Für welche t ist M diagonalisierbar? Zu einigen Fragen weiß ich denke ich die Antwort, wäre aber glücklich über eine Rückmeldung ob das auch alles so stimmt, bei anderen bin ich nicht so sicher: a) Regel von Sarrus: 2-t b)2-t ungleich 0 => t ungleich 2 c)determinante muss in Z invertierbar sein, das heißt Det(M)=1 oder -1, also t=1 oder 3 d)Das charakteristische Polynom muss mindestens eine Nullstelle haben, in diesem Fall ist 1 immer eine Nullstelle, also ist t beliebig e)x^3-4x^2+(5-t)x-(2-t) f)Das charakteristische Polynom muss vollständig in Linearfaktoren zerfallen, also berechne ich (x^3-4x^2+(5-t)x-(2-t)) 
x-1) und wende auf das Ergebniss die PQ-Formel an. Weil wir in R sind muss unter der Wurzel etwas Positives stehen, also ist M triangulierbar für alle t für die das gilt.g)Das Poilynom muss vollständig in Linearfaktoren zerfallen, also gilt dasselbe wie aus f). Außerdem muss die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte mit der geometrischen übereinstimmen. Ich bin ziemlich ratlos wie ich das feststellen soll :-( Es würde mir echt helfen wenn irgendjemand mir sagen kann was davon ich richtig habe und was nicht, wie ich das falsche richtig machen kann :-) |
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| 23.07.2012, 13:31 | DP1996 | Auf diesen Beitrag antworten » |
a bis e stimmen. 
f) Triangulierbarkeit sagt mir zwar nichts, aber nach dem, was ich grad so darüber gelesen habe, war deine Vorgehensweise richtig. g) Vorgehensweise ist korrekt. Die algebraische Vielfachheit ist einfach die Potenz der einzelnen Linearfaktoren in der Linearfaktorzerlegung des charakteristischen Polynoms. Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraumes zum entsprechenden Eigenwert. |
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